还剩19页未读，
继续阅读
高中物理第3章 圆周运动第2节 科学探究:向心力导学案及答案
展开
这是一份高中物理第3章 圆周运动第2节 科学探究:向心力导学案及答案，共22页。
知识点一 向心力
[观图助学]
物体不受外力或者所受合外力是零时，物体将处于静止状态或者匀速直线运动状态，那么是什么力使汽车运动方向发生了改变，又是什么力让“水流星”做圆周运动呢？这些力有什么特点？
1.定义
做圆周运动的物体一定受到指向圆心的力的作用，这个力称为向心力。
2.方向
始终指向圆心，总是与运动方向垂直。
3.作用效果
向心力只改变速度方向，不改变速度大小。
4.来源
向心力可能是弹力、重力、摩擦力也可能是某几个力的合力或某一个力的分力。
[思考判断]
(1)向心力是根据作用效果命名的。(√)
(2)向心力既可以改变速度的方向，又可以改变速度的大小。(×)
(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。(√)
物体做圆周运动时，需要有指向圆心的力用于改变物体的运动方向。
向心力始终指向圆心，所以向心力不可能是恒力。
向心力始终与速度垂直，向心力不做功。
小球做圆周运动的向心力可以说是重力与弹力的合力，也可以说是弹力沿半径方向的分力。
知识点二 探究影响向心力大小的因素
1.实验目的
探究影响向心力大小的因素。
2.实验方法
控制变量法。
3.探究过程
(1)m、r相同，改变角速度ω，则ω越大，向心力F就越大。
(2)m、ω相同，改变半径r，则r越大，向心力F就越大。
(3)ω、r相同，改变质量m，则m越大，向心力F就越大。
4.结论
物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量成正比，与半径成正比，与角速度的二次方成正比。
5.公式
F＝mrω2或F＝meq \f(v2,r)。
[思考判断]
(1)研究某一物理量的大小与多个物理量间的关系时，要采用控制变量法。 (√)
(2)做圆周运动的物体，质量越大，所需要的向心力越大。(×)
(3)做匀速圆周运动的物体线速度越大，所需向心力越大。(×)
当某个物理量与多个物理量都有关时，经常采用控制变量法研究它们的相互关系。
物体转的越快，细线被拉断的可能性越大。
知识点三 向心加速度
1.定义
做圆周运动的物体受到向心力的作用，那么它必然存在一个由向心力产生的加速度。这个加速度叫做向心加速度。
2.物理意义
描述线速度方向改变的快慢。
3.大小
a＝ω2r＝eq \f(v2,r)。
4.方向
总是指向圆心。所以，不论a的大小是否变化，它都是一个变化的量。
[思考判断]
(1)向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。(√)
(2)由于匀速圆周运动的速度大小不变，故向心加速度不变。(×)
(3)由于a＝ω2r，则向心加速度与半径成正比。(×),
做圆周运动的物体，向心加速度与速度垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向。
向心加速度的方向时刻变化。
核心要点 对向心力的理解及来源的分析
[情景探究]
如图所示，飞机在空中水平面内做匀速圆周运动；在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动。试分析飞机和小球受到哪些力的作用？它们的向心力由什么力提供？
答案 飞机受到重力和空气对飞机的作用力，二者的合力提供向心力；小球受筒壁的弹力和重力作用，二者的合力提供向心力。
[探究归纳]
1.向心力的特点
(1)方向：方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。
(2)大小：F＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝mωv＝meq \f(4π2,T2)r。在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v的变化而变化。
2.向心力的作用效果：由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。
3.向心力的来源
常见几个实例分析：
[经典示例]
[例1] 如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上，离轴心r＝20 cm处放置一小物块A，其质量为m＝2 kg，A与圆盘间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍(k＝0.5)。试求：
(1)当圆盘转动的角速度ω1＝2 rad/s时，物块A与圆盘间的静摩擦力为多大？方向如何？
(2)欲使物块A与圆盘间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？(取g＝10 m/s2)
审题提示 (1)做匀速圆周运动的物体，合外力指向圆心充当向心力。
(2)发生相对滑动的临界条件是摩擦力达到最大静摩擦力。
解析 (1)根据牛顿第二定律可得物块受到的静摩擦力的大小为
f＝F向＝mωeq \\al(2,1)r＝1.6 N，方向沿半径指向圆心。
(2)欲使物块与圆盘间不发生相对滑动，物块做圆周运动所需的向心力不能大于最大静摩擦力，所以有
mω2r≤kmg，
解得ω≤ eq \r(\f(kg,r))＝5 rad/s。
即圆盘转动的最大角速度为5 rad/s。
答案 (1)1.6 N，方向沿半径指向圆心 (2)5 rad/s
方法总结 计算向心力的基本思路
(1)明确研究对象，必要时要将它从转动系统中隔离出来。
(2)确定物体做圆周运动的轨道平面，确定圆心和半径。
(3)分析运动物体的受力情况，从中确定是哪些力提供向心力，千万不能臆想出一个向心力来。
(4)建立直角坐标系(以指向圆心方向为x轴的正向)，将力正交分解到坐标轴方向上。
(5)在x轴方向，选用向心力公式F＝mrω2＝meq \f(v2,r)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r＝m(2πf)2r列方程求解，若为匀速圆周运动，必要时再在y轴方向按 F合y＝0求解。
[针对训练1] 如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，某人站在距圆心为r处的P点不动，下列关于人的受力的说法中正确的是( )
A.人在P点不动，因此不受摩擦力作用
B.人随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力
C.人随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D.若使圆盘以较小的转速转动时，人在P点受到的摩擦力不变
解析 由于人随圆盘做匀速圆周运动，所以一定需要向心力，且该力一定指向圆心方向，而重力和支持力均在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此该人会受到摩擦力的作用，且摩擦力充当向心力，选项A、B错误，C正确；由于人随圆盘转动，半径不变，当圆盘的转速变小时，由F＝m(2πn)2r可知，所需向心力变小，受到的摩擦力变小，选项D错误。
答案 C
核心要点 探究影响向心力大小的因素
[要点归纳]
1.实验器材
向心力演示仪
当转动手柄1时，变速轮2和3就随之转动，放在长滑槽4和短滑槽5中的球A和B都随之做圆周运动。球由于惯性而滚到横臂的两个短臂挡板6处，短臂挡板就推压球，向球提供了做圆周运动所需的向心力。由于杠杆作用，短臂向外时，长臂就压缩塔轮转轴上的测力部分的弹簧，使测力部分套管7上方露出标尺8的格数，便显示出了两球所需向心力之比。
2.实验步骤
(1)把两个质量不同的小球放在长槽和短槽上， 调整塔轮上的皮带和小球的位置，使两球的转动半径和角速度都相同。转动手柄，观察向心力大小和质量的关系。
(2)换两个质量相同的小球，使两球的角速度相同。再增大长槽上小球的转动半径，使两球的转动半径不同。转动手柄，观察向心力大小和半径的关系。
(3)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同， 调整皮带的位置，使两球转动的角速度不同，转动手柄，观察向心力大小和角速度的关系。
3.实验结论
物体做圆周运动需要的向心力跟物体的质量成正比，跟半径成正比，跟角速度的二次方成正比。
4.注意事项
(1)实验前应将横臂紧固，螺钉旋紧，以防球和其他部件飞出造成事故。
(2)实验时，不宜使标尺露出格数太多，以免由于球沿滑槽外移引起过大的误差。
(3)摇动手柄时，应力求加速缓慢，速度增加均匀。
(4)皮带跟塔轮之间要拉紧。
[经典示例]
[例2] 如图所示，图甲为“向心力演示器验证向心力公式”的实验示意图，图乙为俯视图。图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同。当a、b两轮在皮带的带动下匀速转动时：
(1)两槽转动的角速度ωA________ωB。(选填“>”“＝”或“<”)。
(2)现有两质量相同的钢球，①球放在A槽的边缘，②球放在B槽的边缘，它们到各自转轴的距离之比为2∶1。则钢球①、②的线速度大小之比为________；受到的向心力大小之比为________。
解析 (1)因两轮ab转动的角速度相同，而两槽的角速度与两轮角速度相同，则两槽转动的角速度相等，即ωA＝ωB。
(2)钢球①、②的角速度相同，半径之比为2∶1，则根据v＝ωr可知，线速度大小之比为2∶1；根据F＝mω2r可知，受到的向心力大小之比为2∶1。
答案 (1)＝ (2)2∶1 (3)2∶1
[针对训练2] 用如图所示的装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。两个变速塔轮通过皮带连接，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的钢球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对钢球的压力提供向心力，钢球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的黑白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值。如图是探究过程中某次实验时装置的状态。
(1)在研究向心力的大小F与质量m关系时，要保持________相同。
A.ω和r B.ω和m
C.m和r D.m和F
(2)如果两个钢球质量和半径相等，则是在研究向心力的大小F与________的关系。
A.质量m B.半径r
C.角速度ω
解析 在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，需先控制某些量不变，研究另外两个物理量的关系，该方法为控制变量法。
(1)因F＝mω2r，根据控制变量法的原理可知，在研究向心力的大小F与质量m关系时，要保持其他的物理量不变，其中包括角速度ω与半径r，即保持角速度与半径相同。故选A。
(2)图中所示两球的质量相同，转动的半径相同，根据F＝mω2r，则研究的是向心力与角速度的关系。故选C。
答案 (1)A (2)C
核心要点 向心加速度的理解
[情境探究]
如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，哪两个点的向心加速度与半径成正比？哪两个点的向心加速度与半径成反比？
答案 B、C两点的向心加速度与半径成正比。A、B两点的向心加速度与半径成反比。
[探究归纳]
1.向心加速度的方向：不论向心加速度a的大小是否变化，a的方向始终指向圆心，是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动是一种变加速曲线运动。
2.向心加速度的几种表达式
3.向心加速度与半径的关系
(1)若ω一定，根据a＝ω2r可知，向心加速度与r成正比，如图甲所示。
(2)若v一定，根据a＝eq \f(v2,r)可知，向心加速度与r成反比，如图乙所示。
(3)若无特定条件，则不能说向心加速度与r是成正比还是成反比。
[经典示例]
[例3] (多选)关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是( )
A.它们的方向都是沿半径指向地心
B.它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴
C.北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D.北京的向心加速度比广州的向心加速度小
解析 如图所示。地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴，B正确，A错误；设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径r＝R0cs φ，其向心加速度为a＝ω2r＝ω2R0cs φ。由于北京的地理纬度比广州的大，cs φ小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，D正确，C错误。
答案 BD
方法总结 向心加速度公式的应用技巧
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。
(3)向心加速度公式a＝eq \f(v2,r)和a＝ω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。
[针对训练3] A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为15 r/min。则两球的向心加速度大小之比为( )
A.1∶1 B.2∶1
C.4∶1 D.8∶1
解析 由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度大小之比aA：aB＝ωeq \\al(2,A)RA∶ωeq \\al(2,B)RB＝8∶1，D正确。
答案 D
1.(对向心力的理解)对做圆周运动的物体所受的向心力，说法正确的是 ( )
A.因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B.因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C.向心力是物体所受的合外力
D.向心力和向心加速度的方向都是不变的
解析 做匀速圆周运动的物体所受的向心力大小恒定，方向总是指向圆心，是一个变力，A错误；向心力只改变线速度方向，不改变线速度大小，B正确；只有做匀速圆周运动的物体其向心力是由物体所受合外力提供，C错误；向心力与向心加速度的方向总是指向圆心，是时刻变化的，D错误。
答案 B
2.(对向心加速度的理解)下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是( )
A.向心加速度表示速率改变的快慢
B.向心加速度表示角速度变化的快慢
C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D.匀速圆周运动的向心加速度不变
解析 匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C正确；向心加速度的方向是变化的，所以D错误。
答案 C
3.(向心力的来源分析)如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法正确的是( )
A.木块A受重力、支持力和向心力
B.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
解析 由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡。而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O。
答案 C
4.(向心加速度公式的应用)(多选)如图所示的皮带传动装置，主动轮的半径与从动轮的半径之比R1∶R2＝2∶1，A、B分别是两轮边缘上的点，假定皮带不打滑，则下列说法正确的是( )
A.A、B两点的线速度大小之比为vA∶vB＝1∶2
B.A、B两点的线速度大小之比为vA∶vB＝1∶1
C.A 、B两点的加速度大小之比为aA∶aB＝1∶2
D.A、B两点的加速度大小之比为aA∶aB＝2∶1
解析 皮带不打滑，两轮边缘线速度的大小相等，A错误，B正确；由a＝eq \f(v2,r)知两轮上A、B点的向心加速度大小跟两轮的半径成反比，故C正确，D错误。
答案 BC
5.(向心力的计算)如图所示，一位链球运动员在水平面内旋转质量为4 kg的链球，链球每1 s转一圈，转动半径为1.5 m，求：
(1)链球的线速度大小；
(2)链球做圆周运动需要的向心力大小。
解析 (1)v＝ωr＝eq \f(2πr,T)＝eq \f(2×3.14×1.5,1) m/s≈9.42 m/s。
(2)根据向心力公式F＝eq \f(mv2,r)
可得F＝eq \f(4×9.422,1.5) N＝236.6 N。
答案 (1)9.42 m/s (2)236.6 N
基础过关
1.下列关于匀速圆周运动的性质的说法正确的是( )
A.匀速运动
B.匀加速运动
C.加速度不变的曲线运动
D.变加速曲线运动
解析 匀速圆周运动是变速运动，它的加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变量，故匀速圆周运动是变加速曲线运动，A、B、C错误，D正确。
答案 D
2.(多选)关于质点做匀速圆周运动的下列说法中正确的是( )
A.由a＝eq \f(v2,r)可知，a与r成反比
B.由a＝ω2r可知，a与r成正比
C.当v一定时，a与r成反比
D.由ω＝2πn可知，角速度ω与转速n成正比
解析 只有当线速度大小一定时，a与r成反比；只有当角速度一定时，a与r成正比，选项A、B错误，C正确；公式ω＝2πn中，2π为常数，所以角速度ω与转速n成正比，选项D正确。
答案 CD
3.在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的图是( )
解析 由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆的切线方向；因雪橇做匀速圆周运动，合力一定指向圆心。由此可知C正确。
答案 C
4.如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是( )
A.老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B.老鹰受重力和空气对它的作用力
C.老鹰受重力和向心力的作用
D.老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
解析 老鹰在空中做圆周运动，受重力和空气对它的作用力两个力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力。但不能说老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力三个力的作用。选项B正确。
答案 B
5.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是( )
A.物体所受弹力增大，摩擦力增大
B.物体所受弹力增大，摩擦力减小
C.物体所受弹力减小，摩擦力减小
D.物体所受弹力增大，摩擦力不变
解析 物体在竖直方向上受重力G与摩擦力f，是一对平衡力，在水平方向上受弹力N，根据向心力公式，可知N＝mω2r，当ω增大时，N增大，所以应选D。
答案 D
6.如图所示，在水平转动的圆盘上，两个完全一样的木块A、B一起随圆盘做匀速圆周运动，转动的角速度为ω，已知木块A、B到圆盘中心O的距离为rA和rB，则两木块的向心力之比为( )
A.rA∶rB B.rB∶rA
C.req \\al(2,A)∶req \\al(2,B) D.req \\al(2,B)∶req \\al(2,A)
解析 木块A、B在绕O点转动的过程中，是木块与圆盘间的静摩擦力提供了向心力，因两木块随圆盘转动的角速度ω相等，质量一样，由向心力公式F＝mrω2得FA＝mrAω2，FB＝mrBω2，解得FA∶FB＝rA∶rB。
答案 A
7.链球运动员在将链球抛掷出去之前，总要双手抓住链条，加速转动几圈，如图所示，这样可以使链球的速度尽量增大，抛出去后飞行更远，在运动员加速转动的过程中，能发现他手中与链球相连的链条与竖直方向的夹角θ将随链球转速的增大而增大，则以下几个图像中能描述ω与θ的关系的是( )
解析 设链条长为L，链球质量为m，则链球做圆周运动的半径r＝Lsin θ，向心力F＝mgtan θ，而F＝mω2r。由以上三式得ω2＝eq \f(g,L)·eq \f(1,cs θ)，即ω2∝eq \f(1,cs θ)，D正确。
答案 D
8.一轿车以30 m/s的速率沿半径为60 m的圆形跑道行驶，当轿车从A运动到B时，轿车与圆心的连线转过的角度为90°，求：
(1)轿车的周期多大？
(2)此过程中轿车通过的路程是多少？
(3)轿车运动过程中的向心加速度是多大？
解析 (1)由v＝eq \f(2πr,T)得轿车的周期T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2π×60,30) s＝4π s。
(2)轿车通过的路程即轿车通过的弧长，轿车与圆心的连线转过的角度为90°，即经过的时间t＝eq \f(1,4)T＝π s，
所以s＝vt＝30×π m＝30π m。
(3)向心加速度a＝eq \f(v2,r)＝eq \f(302,60) m/s2＝15 m/s2。
答案 (1)4π s (2)30π m (3)15 m/s2
能力提升
9.如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A.加速度为零
B.加速度恒定
C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心
解析 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误。
答案 D
10.(多选)一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方eq \f(L,2)处钉有一颗钉子。如图所示，将悬线沿水平方向拉直后无初速度释放，当悬线碰到钉子后的瞬间，则( )
A.小球的角速度突然增大
B.小球的线速度突然减小到零
C.小球的向心加速度突然增大
D.小球的向心加速度不变
解析 由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωr知，角速度变为原来的2倍，A正确，B错误；由a＝eq \f(v2,r)知，小球的向心加速度变为原来的2倍，C正确，D错误。
答案 AC
11.如图所示，将完全相同的两小球A、B，用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触。由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比FA∶FB为(g＝10 m/s2)( )
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.1∶4
解析 小车突然停止，B球将做圆周运动，所以FB＝meq \f(v2,L)＋mg＝30m；A球做水平方向上的减速运动，FA＝mg＝10m，故此时悬线中张力之比为FA∶FB＝1∶3，选项C正确。
答案 C
12.(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A.球A的线速度必定大于球B的线速度
B.球A的角速度必定小于球B的角速度
C.球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
解析 两球均贴着圆锥筒的内壁，在水平面内做匀速圆周运动，它们均受到重力和筒壁对它们的弹力作用，其合力必定在水平面内时刻指向圆心，如图所示。由图可知，筒壁对球的弹力为eq \f(mg,sin θ)，对于A、B两球，因质量相等，θ角也相等，所以A、B两球受到筒壁的弹力大小也相等，由牛顿第三定律知，A、B两球对筒壁的压力大小也相等，D错误；对球运用牛顿第二定律得eq \f(mg,tan θ)＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝mreq \f(4π2,T2)，可解得球的线速度v＝eq \r(\f(gr,tan θ))，角速度ω＝eq \r(\f(g,rtan θ))，周期T＝2πeq \r(\f(rtan θ,g))。由此可见，球的线速度随轨道半径的增大而增大，所以A球的线速度必定大于B球的线速度，A正确；球的角速度随半径的增大而减小，周期随半径的增大而增大，所以A球的角速度小于B球的角速度，A球的周期大于B球的周期，B正确，C错误。
答案 AB
13.如图所示，AB为固定在竖直平面内的eq \f(1,4)光滑圆弧轨道，轨道的B点与水平地面相切，其半径为R，质量为m的小球由A点静止释放，试求：
(1)小球滑到最低点B时，小球速度v的大小；
(2)小球刚到达最低点B时，轨道对小球支持力N的大小。
解析 (1)由动能定理得mgR＝eq \f(1,2)mv2，则v＝eq \r(2gR)，即小球滑到最低点B时，小球速度v的大小为v＝eq \r(2gR)。
(2)在B处，对小球由牛顿第二定律得N－mg＝meq \f(v2,R)，则N＝3mg，即小球刚到达最低点B时，轨道对小球支持力N的大小为3mg。
答案 (1)eq \r(2gR) (2)3mg
14.如图所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量m＝1 kg的小球A，另一端连接质量M＝4 kg的重物B。(取g＝10 m/s2)求：
(1)当A沿半径R＝0.1 m的圆做匀速圆周运动，其角速度ω＝10 rad/s时，B对地面的压力大小是多少？
(2)要使B对地面恰好无压力，A的角速度应为多大？
解析 (1)对A来说，竖直方向上重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力，则
T＝mRω2＝1×0.1×102 N＝10 N，
对B来说，受到三个力的作用：重力Mg，绳子的拉力T，地面的支持力N，由力的平衡条件可得T＋N＝Mg，
所以N＝Mg－T＝(4×10－10) N＝30 N，由牛顿第三定律可知，B对地面的压力大小为30 N。
(2)当B对地面恰好无压力时，有Mg＝T′，
拉力T′提供小球A的向心力，则有T′＝mRω′2，
则ω′＝eq \r(\f(Mg,mR))＝eq \r(\f(4×10,1×0.1)) rad/s＝20 rad/s。
答案 (1)30 N (2)20 rad/s
核心素养
物理观念
学科探究
科学思维
1.知道什么是向心力和向心加速度。
2.理解向心力的效果、来源，并会分析向心力。
3.掌握向心力、向心加速度的公式并会相关的计算。
影响向心力大小的因素。
不同情况下向心力的来源。
实例
向心力
示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时
绳子的拉力和小球的重力的合力提供向心力，F向＝F＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
线的拉力提供向心力，F向＝T
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝f
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动
小球的重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合或细线拉力的水平分力提供向心力
木块随圆桶绕轴线做圆周运动
圆桶侧壁对木块的弹力提供向心力，F向＝N
知识点一 向心力
[观图助学]
物体不受外力或者所受合外力是零时，物体将处于静止状态或者匀速直线运动状态，那么是什么力使汽车运动方向发生了改变，又是什么力让“水流星”做圆周运动呢？这些力有什么特点？
1.定义
做圆周运动的物体一定受到指向圆心的力的作用，这个力称为向心力。
2.方向
始终指向圆心，总是与运动方向垂直。
3.作用效果
向心力只改变速度方向，不改变速度大小。
4.来源
向心力可能是弹力、重力、摩擦力也可能是某几个力的合力或某一个力的分力。
[思考判断]
(1)向心力是根据作用效果命名的。(√)
(2)向心力既可以改变速度的方向，又可以改变速度的大小。(×)
(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。(√)
物体做圆周运动时，需要有指向圆心的力用于改变物体的运动方向。
向心力始终指向圆心，所以向心力不可能是恒力。
向心力始终与速度垂直，向心力不做功。
小球做圆周运动的向心力可以说是重力与弹力的合力，也可以说是弹力沿半径方向的分力。
知识点二 探究影响向心力大小的因素
1.实验目的
探究影响向心力大小的因素。
2.实验方法
控制变量法。
3.探究过程
(1)m、r相同，改变角速度ω，则ω越大，向心力F就越大。
(2)m、ω相同，改变半径r，则r越大，向心力F就越大。
(3)ω、r相同，改变质量m，则m越大，向心力F就越大。
4.结论
物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量成正比，与半径成正比，与角速度的二次方成正比。
5.公式
F＝mrω2或F＝meq \f(v2,r)。
[思考判断]
(1)研究某一物理量的大小与多个物理量间的关系时，要采用控制变量法。 (√)
(2)做圆周运动的物体，质量越大，所需要的向心力越大。(×)
(3)做匀速圆周运动的物体线速度越大，所需向心力越大。(×)
当某个物理量与多个物理量都有关时，经常采用控制变量法研究它们的相互关系。
物体转的越快，细线被拉断的可能性越大。
知识点三 向心加速度
1.定义
做圆周运动的物体受到向心力的作用，那么它必然存在一个由向心力产生的加速度。这个加速度叫做向心加速度。
2.物理意义
描述线速度方向改变的快慢。
3.大小
a＝ω2r＝eq \f(v2,r)。
4.方向
总是指向圆心。所以，不论a的大小是否变化，它都是一个变化的量。
[思考判断]
(1)向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。(√)
(2)由于匀速圆周运动的速度大小不变，故向心加速度不变。(×)
(3)由于a＝ω2r，则向心加速度与半径成正比。(×),
做圆周运动的物体，向心加速度与速度垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向。
向心加速度的方向时刻变化。
核心要点 对向心力的理解及来源的分析
[情景探究]
如图所示，飞机在空中水平面内做匀速圆周运动；在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动。试分析飞机和小球受到哪些力的作用？它们的向心力由什么力提供？
答案 飞机受到重力和空气对飞机的作用力，二者的合力提供向心力；小球受筒壁的弹力和重力作用，二者的合力提供向心力。
[探究归纳]
1.向心力的特点
(1)方向：方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。
(2)大小：F＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝mωv＝meq \f(4π2,T2)r。在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v的变化而变化。
2.向心力的作用效果：由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。
3.向心力的来源
常见几个实例分析：
[经典示例]
[例1] 如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上，离轴心r＝20 cm处放置一小物块A，其质量为m＝2 kg，A与圆盘间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍(k＝0.5)。试求：
(1)当圆盘转动的角速度ω1＝2 rad/s时，物块A与圆盘间的静摩擦力为多大？方向如何？
(2)欲使物块A与圆盘间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？(取g＝10 m/s2)
审题提示 (1)做匀速圆周运动的物体，合外力指向圆心充当向心力。
(2)发生相对滑动的临界条件是摩擦力达到最大静摩擦力。
解析 (1)根据牛顿第二定律可得物块受到的静摩擦力的大小为
f＝F向＝mωeq \\al(2,1)r＝1.6 N，方向沿半径指向圆心。
(2)欲使物块与圆盘间不发生相对滑动，物块做圆周运动所需的向心力不能大于最大静摩擦力，所以有
mω2r≤kmg，
解得ω≤ eq \r(\f(kg,r))＝5 rad/s。
即圆盘转动的最大角速度为5 rad/s。
答案 (1)1.6 N，方向沿半径指向圆心 (2)5 rad/s
方法总结 计算向心力的基本思路
(1)明确研究对象，必要时要将它从转动系统中隔离出来。
(2)确定物体做圆周运动的轨道平面，确定圆心和半径。
(3)分析运动物体的受力情况，从中确定是哪些力提供向心力，千万不能臆想出一个向心力来。
(4)建立直角坐标系(以指向圆心方向为x轴的正向)，将力正交分解到坐标轴方向上。
(5)在x轴方向，选用向心力公式F＝mrω2＝meq \f(v2,r)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r＝m(2πf)2r列方程求解，若为匀速圆周运动，必要时再在y轴方向按 F合y＝0求解。
[针对训练1] 如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，某人站在距圆心为r处的P点不动，下列关于人的受力的说法中正确的是( )
A.人在P点不动，因此不受摩擦力作用
B.人随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力
C.人随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D.若使圆盘以较小的转速转动时，人在P点受到的摩擦力不变
解析 由于人随圆盘做匀速圆周运动，所以一定需要向心力，且该力一定指向圆心方向，而重力和支持力均在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此该人会受到摩擦力的作用，且摩擦力充当向心力，选项A、B错误，C正确；由于人随圆盘转动，半径不变，当圆盘的转速变小时，由F＝m(2πn)2r可知，所需向心力变小，受到的摩擦力变小，选项D错误。
答案 C
核心要点 探究影响向心力大小的因素
[要点归纳]
1.实验器材
向心力演示仪
当转动手柄1时，变速轮2和3就随之转动，放在长滑槽4和短滑槽5中的球A和B都随之做圆周运动。球由于惯性而滚到横臂的两个短臂挡板6处，短臂挡板就推压球，向球提供了做圆周运动所需的向心力。由于杠杆作用，短臂向外时，长臂就压缩塔轮转轴上的测力部分的弹簧，使测力部分套管7上方露出标尺8的格数，便显示出了两球所需向心力之比。
2.实验步骤
(1)把两个质量不同的小球放在长槽和短槽上， 调整塔轮上的皮带和小球的位置，使两球的转动半径和角速度都相同。转动手柄，观察向心力大小和质量的关系。
(2)换两个质量相同的小球，使两球的角速度相同。再增大长槽上小球的转动半径，使两球的转动半径不同。转动手柄，观察向心力大小和半径的关系。
(3)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同， 调整皮带的位置，使两球转动的角速度不同，转动手柄，观察向心力大小和角速度的关系。
3.实验结论
物体做圆周运动需要的向心力跟物体的质量成正比，跟半径成正比，跟角速度的二次方成正比。
4.注意事项
(1)实验前应将横臂紧固，螺钉旋紧，以防球和其他部件飞出造成事故。
(2)实验时，不宜使标尺露出格数太多，以免由于球沿滑槽外移引起过大的误差。
(3)摇动手柄时，应力求加速缓慢，速度增加均匀。
(4)皮带跟塔轮之间要拉紧。
[经典示例]
[例2] 如图所示，图甲为“向心力演示器验证向心力公式”的实验示意图，图乙为俯视图。图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，且a、b轮半径相同。当a、b两轮在皮带的带动下匀速转动时：
(1)两槽转动的角速度ωA________ωB。(选填“>”“＝”或“<”)。
(2)现有两质量相同的钢球，①球放在A槽的边缘，②球放在B槽的边缘，它们到各自转轴的距离之比为2∶1。则钢球①、②的线速度大小之比为________；受到的向心力大小之比为________。
解析 (1)因两轮ab转动的角速度相同，而两槽的角速度与两轮角速度相同，则两槽转动的角速度相等，即ωA＝ωB。
(2)钢球①、②的角速度相同，半径之比为2∶1，则根据v＝ωr可知，线速度大小之比为2∶1；根据F＝mω2r可知，受到的向心力大小之比为2∶1。
答案 (1)＝ (2)2∶1 (3)2∶1
[针对训练2] 用如图所示的装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。两个变速塔轮通过皮带连接，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的钢球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对钢球的压力提供向心力，钢球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的黑白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值。如图是探究过程中某次实验时装置的状态。
(1)在研究向心力的大小F与质量m关系时，要保持________相同。
A.ω和r B.ω和m
C.m和r D.m和F
(2)如果两个钢球质量和半径相等，则是在研究向心力的大小F与________的关系。
A.质量m B.半径r
C.角速度ω
解析 在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，需先控制某些量不变，研究另外两个物理量的关系，该方法为控制变量法。
(1)因F＝mω2r，根据控制变量法的原理可知，在研究向心力的大小F与质量m关系时，要保持其他的物理量不变，其中包括角速度ω与半径r，即保持角速度与半径相同。故选A。
(2)图中所示两球的质量相同，转动的半径相同，根据F＝mω2r，则研究的是向心力与角速度的关系。故选C。
答案 (1)A (2)C
核心要点 向心加速度的理解
[情境探究]
如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，哪两个点的向心加速度与半径成正比？哪两个点的向心加速度与半径成反比？
答案 B、C两点的向心加速度与半径成正比。A、B两点的向心加速度与半径成反比。
[探究归纳]
1.向心加速度的方向：不论向心加速度a的大小是否变化，a的方向始终指向圆心，是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动是一种变加速曲线运动。
2.向心加速度的几种表达式
3.向心加速度与半径的关系
(1)若ω一定，根据a＝ω2r可知，向心加速度与r成正比，如图甲所示。
(2)若v一定，根据a＝eq \f(v2,r)可知，向心加速度与r成反比，如图乙所示。
(3)若无特定条件，则不能说向心加速度与r是成正比还是成反比。
[经典示例]
[例3] (多选)关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是( )
A.它们的方向都是沿半径指向地心
B.它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴
C.北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D.北京的向心加速度比广州的向心加速度小
解析 如图所示。地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴，B正确，A错误；设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径r＝R0cs φ，其向心加速度为a＝ω2r＝ω2R0cs φ。由于北京的地理纬度比广州的大，cs φ小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，D正确，C错误。
答案 BD
方法总结 向心加速度公式的应用技巧
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。
(3)向心加速度公式a＝eq \f(v2,r)和a＝ω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。
[针对训练3] A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为15 r/min。则两球的向心加速度大小之比为( )
A.1∶1 B.2∶1
C.4∶1 D.8∶1
解析 由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度大小之比aA：aB＝ωeq \\al(2,A)RA∶ωeq \\al(2,B)RB＝8∶1，D正确。
答案 D
1.(对向心力的理解)对做圆周运动的物体所受的向心力，说法正确的是 ( )
A.因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B.因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C.向心力是物体所受的合外力
D.向心力和向心加速度的方向都是不变的
解析 做匀速圆周运动的物体所受的向心力大小恒定，方向总是指向圆心，是一个变力，A错误；向心力只改变线速度方向，不改变线速度大小，B正确；只有做匀速圆周运动的物体其向心力是由物体所受合外力提供，C错误；向心力与向心加速度的方向总是指向圆心，是时刻变化的，D错误。
答案 B
2.(对向心加速度的理解)下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是( )
A.向心加速度表示速率改变的快慢
B.向心加速度表示角速度变化的快慢
C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D.匀速圆周运动的向心加速度不变
解析 匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C正确；向心加速度的方向是变化的，所以D错误。
答案 C
3.(向心力的来源分析)如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法正确的是( )
A.木块A受重力、支持力和向心力
B.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
解析 由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡。而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O。
答案 C
4.(向心加速度公式的应用)(多选)如图所示的皮带传动装置，主动轮的半径与从动轮的半径之比R1∶R2＝2∶1，A、B分别是两轮边缘上的点，假定皮带不打滑，则下列说法正确的是( )
A.A、B两点的线速度大小之比为vA∶vB＝1∶2
B.A、B两点的线速度大小之比为vA∶vB＝1∶1
C.A 、B两点的加速度大小之比为aA∶aB＝1∶2
D.A、B两点的加速度大小之比为aA∶aB＝2∶1
解析 皮带不打滑，两轮边缘线速度的大小相等，A错误，B正确；由a＝eq \f(v2,r)知两轮上A、B点的向心加速度大小跟两轮的半径成反比，故C正确，D错误。
答案 BC
5.(向心力的计算)如图所示，一位链球运动员在水平面内旋转质量为4 kg的链球，链球每1 s转一圈，转动半径为1.5 m，求：
(1)链球的线速度大小；
(2)链球做圆周运动需要的向心力大小。
解析 (1)v＝ωr＝eq \f(2πr,T)＝eq \f(2×3.14×1.5,1) m/s≈9.42 m/s。
(2)根据向心力公式F＝eq \f(mv2,r)
可得F＝eq \f(4×9.422,1.5) N＝236.6 N。
答案 (1)9.42 m/s (2)236.6 N
基础过关
1.下列关于匀速圆周运动的性质的说法正确的是( )
A.匀速运动
B.匀加速运动
C.加速度不变的曲线运动
D.变加速曲线运动
解析 匀速圆周运动是变速运动，它的加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变量，故匀速圆周运动是变加速曲线运动，A、B、C错误，D正确。
答案 D
2.(多选)关于质点做匀速圆周运动的下列说法中正确的是( )
A.由a＝eq \f(v2,r)可知，a与r成反比
B.由a＝ω2r可知，a与r成正比
C.当v一定时，a与r成反比
D.由ω＝2πn可知，角速度ω与转速n成正比
解析 只有当线速度大小一定时，a与r成反比；只有当角速度一定时，a与r成正比，选项A、B错误，C正确；公式ω＝2πn中，2π为常数，所以角速度ω与转速n成正比，选项D正确。
答案 CD
3.在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的图是( )
解析 由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆的切线方向；因雪橇做匀速圆周运动，合力一定指向圆心。由此可知C正确。
答案 C
4.如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是( )
A.老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B.老鹰受重力和空气对它的作用力
C.老鹰受重力和向心力的作用
D.老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
解析 老鹰在空中做圆周运动，受重力和空气对它的作用力两个力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力。但不能说老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力三个力的作用。选项B正确。
答案 B
5.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是( )
A.物体所受弹力增大，摩擦力增大
B.物体所受弹力增大，摩擦力减小
C.物体所受弹力减小，摩擦力减小
D.物体所受弹力增大，摩擦力不变
解析 物体在竖直方向上受重力G与摩擦力f，是一对平衡力，在水平方向上受弹力N，根据向心力公式，可知N＝mω2r，当ω增大时，N增大，所以应选D。
答案 D
6.如图所示，在水平转动的圆盘上，两个完全一样的木块A、B一起随圆盘做匀速圆周运动，转动的角速度为ω，已知木块A、B到圆盘中心O的距离为rA和rB，则两木块的向心力之比为( )
A.rA∶rB B.rB∶rA
C.req \\al(2,A)∶req \\al(2,B) D.req \\al(2,B)∶req \\al(2,A)
解析 木块A、B在绕O点转动的过程中，是木块与圆盘间的静摩擦力提供了向心力，因两木块随圆盘转动的角速度ω相等，质量一样，由向心力公式F＝mrω2得FA＝mrAω2，FB＝mrBω2，解得FA∶FB＝rA∶rB。
答案 A
7.链球运动员在将链球抛掷出去之前，总要双手抓住链条，加速转动几圈，如图所示，这样可以使链球的速度尽量增大，抛出去后飞行更远，在运动员加速转动的过程中，能发现他手中与链球相连的链条与竖直方向的夹角θ将随链球转速的增大而增大，则以下几个图像中能描述ω与θ的关系的是( )
解析 设链条长为L，链球质量为m，则链球做圆周运动的半径r＝Lsin θ，向心力F＝mgtan θ，而F＝mω2r。由以上三式得ω2＝eq \f(g,L)·eq \f(1,cs θ)，即ω2∝eq \f(1,cs θ)，D正确。
答案 D
8.一轿车以30 m/s的速率沿半径为60 m的圆形跑道行驶，当轿车从A运动到B时，轿车与圆心的连线转过的角度为90°，求：
(1)轿车的周期多大？
(2)此过程中轿车通过的路程是多少？
(3)轿车运动过程中的向心加速度是多大？
解析 (1)由v＝eq \f(2πr,T)得轿车的周期T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(2π×60,30) s＝4π s。
(2)轿车通过的路程即轿车通过的弧长，轿车与圆心的连线转过的角度为90°，即经过的时间t＝eq \f(1,4)T＝π s，
所以s＝vt＝30×π m＝30π m。
(3)向心加速度a＝eq \f(v2,r)＝eq \f(302,60) m/s2＝15 m/s2。
答案 (1)4π s (2)30π m (3)15 m/s2
能力提升
9.如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A.加速度为零
B.加速度恒定
C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心
解析 由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误。
答案 D
10.(多选)一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方eq \f(L,2)处钉有一颗钉子。如图所示，将悬线沿水平方向拉直后无初速度释放，当悬线碰到钉子后的瞬间，则( )
A.小球的角速度突然增大
B.小球的线速度突然减小到零
C.小球的向心加速度突然增大
D.小球的向心加速度不变
解析 由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωr知，角速度变为原来的2倍，A正确，B错误；由a＝eq \f(v2,r)知，小球的向心加速度变为原来的2倍，C正确，D错误。
答案 AC
11.如图所示，将完全相同的两小球A、B，用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触。由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比FA∶FB为(g＝10 m/s2)( )
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.1∶4
解析 小车突然停止，B球将做圆周运动，所以FB＝meq \f(v2,L)＋mg＝30m；A球做水平方向上的减速运动，FA＝mg＝10m，故此时悬线中张力之比为FA∶FB＝1∶3，选项C正确。
答案 C
12.(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A.球A的线速度必定大于球B的线速度
B.球A的角速度必定小于球B的角速度
C.球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
解析 两球均贴着圆锥筒的内壁，在水平面内做匀速圆周运动，它们均受到重力和筒壁对它们的弹力作用，其合力必定在水平面内时刻指向圆心，如图所示。由图可知，筒壁对球的弹力为eq \f(mg,sin θ)，对于A、B两球，因质量相等，θ角也相等，所以A、B两球受到筒壁的弹力大小也相等，由牛顿第三定律知，A、B两球对筒壁的压力大小也相等，D错误；对球运用牛顿第二定律得eq \f(mg,tan θ)＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝mreq \f(4π2,T2)，可解得球的线速度v＝eq \r(\f(gr,tan θ))，角速度ω＝eq \r(\f(g,rtan θ))，周期T＝2πeq \r(\f(rtan θ,g))。由此可见，球的线速度随轨道半径的增大而增大，所以A球的线速度必定大于B球的线速度，A正确；球的角速度随半径的增大而减小，周期随半径的增大而增大，所以A球的角速度小于B球的角速度，A球的周期大于B球的周期，B正确，C错误。
答案 AB
13.如图所示，AB为固定在竖直平面内的eq \f(1,4)光滑圆弧轨道，轨道的B点与水平地面相切，其半径为R，质量为m的小球由A点静止释放，试求：
(1)小球滑到最低点B时，小球速度v的大小；
(2)小球刚到达最低点B时，轨道对小球支持力N的大小。
解析 (1)由动能定理得mgR＝eq \f(1,2)mv2，则v＝eq \r(2gR)，即小球滑到最低点B时，小球速度v的大小为v＝eq \r(2gR)。
(2)在B处，对小球由牛顿第二定律得N－mg＝meq \f(v2,R)，则N＝3mg，即小球刚到达最低点B时，轨道对小球支持力N的大小为3mg。
答案 (1)eq \r(2gR) (2)3mg
14.如图所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量m＝1 kg的小球A，另一端连接质量M＝4 kg的重物B。(取g＝10 m/s2)求：
(1)当A沿半径R＝0.1 m的圆做匀速圆周运动，其角速度ω＝10 rad/s时，B对地面的压力大小是多少？
(2)要使B对地面恰好无压力，A的角速度应为多大？
解析 (1)对A来说，竖直方向上重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力，则
T＝mRω2＝1×0.1×102 N＝10 N，
对B来说，受到三个力的作用：重力Mg，绳子的拉力T，地面的支持力N，由力的平衡条件可得T＋N＝Mg，
所以N＝Mg－T＝(4×10－10) N＝30 N，由牛顿第三定律可知，B对地面的压力大小为30 N。
(2)当B对地面恰好无压力时，有Mg＝T′，
拉力T′提供小球A的向心力，则有T′＝mRω′2，
则ω′＝eq \r(\f(Mg,mR))＝eq \r(\f(4×10,1×0.1)) rad/s＝20 rad/s。
答案 (1)30 N (2)20 rad/s
核心素养
物理观念
学科探究
科学思维
1.知道什么是向心力和向心加速度。
2.理解向心力的效果、来源，并会分析向心力。
3.掌握向心力、向心加速度的公式并会相关的计算。
影响向心力大小的因素。
不同情况下向心力的来源。
实例
向心力
示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时
绳子的拉力和小球的重力的合力提供向心力，F向＝F＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
线的拉力提供向心力，F向＝T
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝f
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动
小球的重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合或细线拉力的水平分力提供向心力
木块随圆桶绕轴线做圆周运动
圆桶侧壁对木块的弹力提供向心力，F向＝N
相关学案
高中物理鲁科版 (2019)必修 第二册第2节 功率学案设计： 这是一份高中物理鲁科版 (2019)必修 第二册第2节 功率学案设计，共15页。
鲁科版 (2019)必修 第二册第1节 运动的合成与分解学案设计： 这是一份鲁科版 (2019)必修 第二册第1节 运动的合成与分解学案设计，共20页。
高中物理鲁科版 (2019)必修 第二册第3章 圆周运动第3节 离心现象学案： 这是一份高中物理鲁科版 (2019)必修 第二册第3章 圆周运动第3节 离心现象学案，共24页。
