第五章数列专练12—综合练习（二）-2021届高三数学一轮复习

数列专练12—综合练习（二）一、单选题1．已知数列{an}且满足：，且，则Sn为数列{an}的前n项和，则S2020＝（　　）A．2019 B．2021 C．2022 D．20232．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，且，则等比数列公比q（　　）A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值 C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值3．已知等差数列{an}的首项为a1，公差d≠0，记Sn为数列{（﹣1）n•an}的前n项和，且存在k∈N*，使得成立，则（　　）A． B． C． D．4．已知数列的前n项的和为Sn，且Sn＝2an﹣3n（n∈N*），则（　　）A．{an}为等比数列 B．{an}为摆动数列 C． D．5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若m为大于1的正整数，且，，则m＝（　　）A．1000 B．1010 C．1020 D．10306．已知前n项和为Sn，的数列{an}满足，，则（　　）A．62 B．63 C．64 D．657．已知数列{an}的各项均为正数，且满足，，设Sn为数列{an}的前n项和，则S2019＝（　　）A．2019×22020+2 B．2019×22020﹣2 C．2018×22020+2 D．2018×22020﹣28．已知数列{an}满足：（a∈R，n∈N*），且a1＝，则下列说法错误的是（　　）A．存在a∈R，使得{}为等差数列 B．当a＝﹣1时，C．当a＝2时，a1＜a2＜a3＜…＜an＜ D．当a＝4时，{}是等比数列二、多选题9．已知等差数列的首项是正数，记为数列的前项和，若，则下列结论中正确的有　　A． B． C．是先增后减数列 D．且为的最大值10.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是　　A． B． C．的最大值为 D．的最大值为11．定义在，，上的函数，如果对于任意给定的等比数列，数列仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在，，上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为　　A． B． C． D．12．设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数，下列说法正确的是　　A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B．已知，则是间隔递增数列 C．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2 D．已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则三、填空题13．已知数列各项均为正数，为其前项和．若，，则　　．14．无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”．若为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，，则　　．15．数列中，，，若，则　　．16．在数列中，，且，则数列的前2021项和为　　．四、解答题17．数列中，，．（1）求的通项公式；（2）求满足的的最大值．18．记为等差数列的前项和．已知．（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围．19．已知数列和满足，，，．（1）证明：是等比数列，是等差数列；（2）求和的通项公式．20．等差数列满足，，，成等比数列，数列满足，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）数列的前项和为，求证：．21．已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．22．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求的最大值与最小值．数列专练12—综合练习（二）答案1．解：由，a1＝4，可得，，，所以数列{an}是以3为周期的数列，S3＝a1+a2+a3＝3，所以S2020＝673S3+a1＝673×3+4＝2023．故选：D．2．解：根据题意，等比数列{an}中，若an＞0，则q＞0，当q＝1时，S2n＝2Sn，≤2成立，当q≠1时，＝＝＝1+qn≤2，解可得0＜q＜1，综合可得：0＜q≤1，即公比q有最大值，无最小值，故选：A．3．解：若k＝2n﹣1（n∈N*）为奇数，则﹣a1+a2﹣a3+a4﹣……﹣a2n﹣1+a2n＝0，则nd＝0，可得d＝0，与已知d≠0矛盾，舍去．若k＝2n（n∈N*）为偶数，则﹣a1+a2﹣a3+a4﹣……﹣a2n﹣1+a2n﹣a2n+1＝0，则nd﹣a1﹣2nd＝0，可得a1+nd＝0，∵d≠0，n∈N*，∴a1d＜0．故选：B．4．解：∵Sn＝2an﹣3n（n∈N*）①，∴当n＝1时，有S1＝2a1﹣3，解得：a1＝3；当n≥2时，有Sn﹣1＝2an﹣1﹣3（n﹣1）②，由①﹣②可得：an＝2an﹣2an﹣1﹣3，即an＝2an﹣1+3，∴an+3＝2（an﹣1+3），又∵a1+3＝6≠0，∴数列{an+3}是首项为6，公比为2的等比数列，∴an+3＝6×2n﹣1＝3×2n，∴an＝3（2n﹣1），Sn＝6（2n﹣1）﹣3n＝6×2n﹣6﹣3n，故选：D．5．解：Sn是等差数列{an}的前n项和，若m为大于1的正整数，且3am﹣1﹣2am2+3am+1＝4，则：am2﹣3am+2＝0解得：am＝1，am＝2S2m﹣1＝＝（2m﹣1）am＝4038，当am＝1时，（2m﹣1）＝4038，此时解不合题意，当am＝2时，（2m﹣1）×2＝4038，解得：m＝1010故选：B．6．解：∵＝＝＝4，∴数列{an}的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以2为首项，4为公比的等比数列．∴an＝，即an＝2n﹣1，∴＝＝1＝26＝65．故选：D．7．解：因为，所以[nan+1+2（n+1）an][nan﹣2（n+1）an]+[nan+1﹣2（n+1）an]＝0，所以[nan+1+2（n+1）an+1][nan+1﹣2（n+1）an]＝0，因为数列{an}的各项均为正数，所以nan+1﹣2（n+1）an＝0，即＝2•，又因为a1＝2，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，即，故①，②，①﹣②得：，所以，所以．故选：C．8．解：对于A，当a＝0时，＝＝1+，∴存在a∈R，使得{}为等差数列，故A正确；对于B，当a＝﹣1时，，，a3＝﹣2，a4＝3，，∴an+4＝an，∴数列{an}是周期为4的周期数列，∴当a＝﹣1时，a2020＝a4＝3，故B正确；对于C，当a＝2时，，若an＞0，则an+1＞0，又＞0，可知对任意n∈N*，有an＞0，∵﹣＝，＝＜0，∴不可能有成立，故C错误；对于D，当a＝4时，，若an＞0，则an+1＞0，∵，可知对任意n∈N*，有an＞0，∴﹣1＝，∵＝•＝＝﹣3，∴当a＝4时，{}是等比数列，故D正确．故选：C．9．解：，，，，，数列是递减数列，且公差，故选项、正确，选项错误；又，选项正确，故选：．10.解：，，，，由，得，，若不然，，则，又，，不成立，又时，有，显然与已知矛盾，综上，有，故选项正确；，，数列是正项的递减数列，没最大值，故选项错误；又，，，最大，故选项错误；选项正确．故选：．11．解：设等比数列的公比为．对于，，故是“保等比数列函数”；对于，则常数，故不是“保等比数列函数”；对于，则，故是“保等比数列函数”；对于，则常数，故不是“保等比数列函数”．故选：．12．解：，因为，所以当 时，，故错误；，令， 在单调递增，则（1），解得，故正确；，当 为奇数时，，存在 成立，当 为偶数时，2 ，存在 成立，综上： 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；．若 是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则，成立，则，对于 成立，且对于 成立，即，对于 成立，且，对于 成立，所以，且，解得，故正确．故选：．五、填空题13．解：，，又数列各项均为正数，，即，数列是以为首项，2为公比的等比数列，．故答案为：127．14．解：前四项成等比数列，，，公比，，，又为“和谐递进数列”， ，，，，，．．故答案为：7576．15．解：由题意，可令，则，即，故数列是以3为首项，3为公差的等差数列，，，，，，解得，，，解得．故答案为：6．16．解：由且，变形为：，，数列是等比数列，首项为，公比为3．，．数列的前2021项和．故答案为：．17．解：（1）．，又，数列是以3为首项，2为公差的等差数列，，；（2）由（1）知，，，，，，，，的最大值为9．18．解：（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，若，则，变形可得，即，若，则，则，（2）若，则，当时，不等式成立，当时，有，变形可得，又由，即，则有，即，则有，又由，则有，则有，综合可得：的取值范围是，．19．解：（1）证明：，；，；即，；又，，是首项为1，公比为的等比数列，是首项为1，公差为2的等差数列；（2）由（1）可得：，；，．20．解：（Ⅰ）由题意得，解得：（不符）或，所以．则当时．当时符合，所以．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，所以．21．（Ⅰ）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由已知，得，而，所以．又因为，解得．所以，．由，可得．由，可得，联立①②，解得，，由此可得．所以，的通项公式为，的通项公式为．（Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有，，上述两式相减，得．得．所以，数列的前项和为．22．解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则分解得，，分所以，．                 分（2）由（1）得，故，分当为奇数时，，随的增大而减小，所以；分当为偶数时，，随的增大而增大，所以，分令，，则，故在时是增函数．故当为奇数时，；                  分当为偶数时，，分综上所述，的最大值是，最小值是．    分．