第五章数列专练4—等比数列（一）-2021届高三数学一轮复习

数列专练4—等比数列（一）

一、单选题

1．在2和8之间插入n个正数，使这n+2数成等比数列，则该数列的公比是（　　）

A． B． C． D．

2．数列{an}中，a3＝5，a7＝2，若（n∈N*）是等比数列，则a5＝（　　）

A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．

3．已知数列{an}满足log3an+1＝log3an+1（n∈N*），且a2+a4+a6＝9，则＝（　　）

A．5 B． C．4 D．﹣3

4．已知正项等比数列{an}中a9＝9a7，若存在两项am、an，使，则的最小值为（　　）

A．5 B． C． D．

5．已知Sn为数列{an}的前n项和，﹣2，an，6Sn成等差数列，若t＝a1a2+a2a3+…+anan+1，则（　　）

A．﹣＜t≤﹣ B．﹣＜t≤﹣ C．﹣＜t≤﹣ D．﹣＜t≤

6．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2且n∈N*时，an，Sn，Sn﹣1成等比数列，则a5＝（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣

7．已知数列{an}满足an＝（n∈N*），且对任意的n∈N*都有an+1＞an，则实数p的取值范围是（　　）

A．（1，） B．（1，） C．（1，2） D．（，2）

8．已知各项都是正数的等比数列{an}满足a7＝a6+2a5，存在两项am，an使得，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

二、多选题

9．设是公比为2的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有　　

A．是公比为的等比数列 B．是公比为4的等比数列 

C．是公比为4的等比数列 D．是公为2的等比数列

10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是　　

A． B． 

C．的最大值为 D．的最大值为

11．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是　　

A． 

B．数列是等比数列 

C． 

D．数列是公差为2的等差数列

12．已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，，记的前项积为，则下列选项中正确的选项是　　

A． B． C． D．

三、填空题

13．设数列为等比数列．若，且，则　　．

14．定义为数列的几何平均数，若是等比数列，，它的前11项的几何平均数为，若在前11项中抽去一项，剩下10项的几何平均数为，则被抽去的项是第　　项．

15．若a，b是函数f（x）＝x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于　　．

16．已知在等比数列中，，则数列的通项公式为　　．

四、解答题

17．已知数列的前项和为，，____．是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

18．已知数列是等差数列，且，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列是递增的等比数列，且，，求．

19．已知等比数列，公比，，5为，的等差中项

（1）求数列的通项；

（2）若，且，求的值

20．已知数列的前项和为，且，，为等差数列．

（1）证明：为等比数列；

（2）求．

数列专练4—等比数列（一）答案

1．解：设a1＝2，则an+2＝8，所以qn+1＝＝4，

所以q＝．故选：A．

2．解：根据题意，设bn＝，则数列{bn}是等比数列，设其公比为q，

若a3＝5，a7＝2，则b3＝＝1，b7＝＝4，

则q4＝＝4，变形有q2＝2，则b5＝b3q2＝2，

则有＝2，解可得a5＝3，选：C．

3．解：根据题意，数列{an}满足log3an+1＝log3an+1，则log33an＝log3an+1，即an+1＝3an，

即数列{an}是公比为3的等比数列，

若a2+a4+a6＝9，则a3+a5+a7＝q（a2+a4+a6）＝27，

则＝﹣log3（a3+a5+a7）＝﹣log327＝﹣3，

故选：D．

4．解：因为正项等比数列{an}中a9＝9a7，

所以q2＝＝9，即q＝3，

若存在两项am、an，使，

则＝27a12，

所以m+n＝5，m＞0，n＞0，m≠n），

则＝（）＝＝5，

当且仅当且n+m＝5即m＝1，n＝5时取等号，

故选：A．

5．解：∵﹣2，an，6Sn成等差数列，∴2an＝6Sn﹣2，①

当n＝1时，2a1＝6S1﹣2，解得a1＝，

当n≥2时，2an﹣1＝6Sn﹣1﹣2，②

由①﹣②，得：

2an﹣2an﹣1＝6an，解得，

∴数列{an}是以为首项，﹣为公比的等比数列，

∴an＝＝﹣（﹣）n，

∴t＝a1a2+a2a3+…+anan+1＝﹣＝﹣[1﹣（）n]，

∵n∈N*，∴﹣[1﹣（）n]∈（﹣，﹣]，

∴﹣＜t≤﹣．

故选：C．

6．解：∵数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2且n∈N*时，an，Sn，Sn﹣1成等比数列，

∴Sn2＝an•（Sn﹣1）⇒Sn2＝（Sn﹣Sn﹣1）•（Sn﹣1）⇒Sn﹣1﹣Sn＝SnSn﹣1，

∴﹣＝1；

∴数列{}是以＝1为首项，1为公差的等差数列；

∴＝1+（n﹣1）＝n，

∴Sn＝，

∴a5＝S5﹣S4＝﹣＝﹣，

故选：D．

7．解：由题可知，将数列分为两部分进行研究：

（1）在a1到a6上，an＝（2﹣p）n﹣2，

若数列为递增数列，则2﹣p＞0，

解得：p＜2，

（2）在a7到an（n＞7）上，

若数列为递增数列，则p＞1，

（3）数列为递增数列，则a7＞a6，

即：p＞（2﹣p）×6﹣2，

解得：，

综上可知，p的取值范围为，

故选：D．

8．解：设等比数列的公比为q，则由a7＝a6+2a5，可得

a6q＝a6+2，

由于an＞0，所以上式两边除以a6得到，

q＝1+，解得q＝2或q＝﹣1，

因为各项为正，所以q＝2，

由于存在两项am，an使得，

所以am•an＝32a12，

所以qm+n﹣2＝32，

所以m+n＝7，

当m＝1，n＝6时，＝，

当m＝2，n＝5时，＝

当m＝3，n＝4时，＝

当m＝4，n＝3时，＝

当m＝5，n＝2时，＝

当m＝6，n＝1时，＝．

所以的最小值为．

故选：D．

9．解：由题设知：公比，

，选项正确；

，选项正确；

，选项错误；

，选项错误，

故选：．

10．解：，，，，

由，得，，若不然，，则，又，，不成立，

又时，有，显然与已知矛盾，

综上，有，故选项正确；

，，数列是正项的递减数列，没最大值，故选项错误；

又，，，最大，故选项错误；选项正确．

故选：．

11．解：，，，，公比为整数．

解得．

，．

，数列是公比为2的等比数列．

．

．数列是公差为的等差数列．

综上可得：只有正确．

故选：．

12．解：等比数列的各项均为正数，，，

，

，若，则一定有，不符合

由题意得，，．

，，

，

，

满足的最大正整数的值为12．

故选：．

13．解：数列为等比数列．若，且，，

则，

故答案为：32．

14．解：设等比数列的公比为，设被抽去项为，

若等比数列的前11项的几何平均数为，

则有，所以，

又由，得，

解得，故数列的通项公式为，

若在前11项中抽去一项，剩下10项的几何平均数为，

则剩下10项的积为，所以，

所以，解得，

故被抽去的项是第11项．

故答案为：11．

15．解：由题意可得：a+b＝p，ab＝q，

∵p＞0，q＞0，

可得a＞0，b＞0，

又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，

可得①或②．

解①得：；解②得：．

∴p＝a+b＝5，q＝1×4＝4，

则p+q＝9．

故答案为：9．

16．解：因为，

由等比数列的性质可知，，

故，，

所以，

所以，

解可得，或，

当时，，，

当时，，

故答案为：，或

17．解：若选①，且；

说明数列是首项为1，公比为2的等比数列；

，；；

若，，成等比数列，则；

左边为偶数，右边为奇数，即不存在正整数，使得，，成等比数列；

若选②，即；

且适合上式；

所以：说明是首项为1，公差为1的等差数列；

，；

若，，成等比数列，则舍）；

即存在正整数，使得，，成等比数列；

若选③，

；

且适合上式；

若，，成等比数列，则舍）；

即存在正整数，使得，，成等比数列．

18．解：（Ⅰ）由已知可得．（2分）

，．（3分）

．（4分）

（Ⅱ）由已知可得分

又是递增的等比数列，故解得：，，

分，

，

，

分

19．解：（1）等比数列，公比，，5为，的等差中项，

，解得，，

．

（2），

令，

则，

，

相减，得：，

解得．

20．证明：（1）设，

则，

，

，

是首项为4，公比为2的等比数列．（6分）

解：（2）数列是等差数列，，

，，

，①

，②

由①②，得：，

．（12分）