第五章数列专练5—等比数列（二）-2021届高三数学一轮复习
展开数列专练5—等比数列（二）
一、单选题
1．设{an}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
2．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
3．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11+2a6a8+a3a13＝25，则a72的最大值是（ ）
A．25 B． C．5 D．
4．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1．若a16＝a1a2a3…ak，则k＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．在正项等比数列{an}中，a1＝1，前三项的和为7，若存在m，n∈N*使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．设a1，a2，…，an∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，an成等比数列；q：（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）＝（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
7．已知前n项和为Sn，的数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan+1＝22n﹣1，则＝（ ）
A．62 B．63 C．64 D．65
8．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5＝64，a4＝16，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
二、多选题
9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
10．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是
A． B． C． D．
11．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是
A． B．
C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
12．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有
A．若数列的前项和，，为常数）则数列为等差数列
B．若数列的前项和，则数列为等差数列
C．数列是等差数列，为前项和，则，，，仍为等差数列
D．数列是等比数列，为前项和，则，，，仍为等比数列
三、填空题
13．已知数列为等比数列，，则 ．
14．等比数列的各项均为正数，且，则 ．
15．公比不为1的等比数列中，对任意，既是与的等差中项，又是1与的等比中项，则 ．
16．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，共收有246个与生产实践有关的应用题．书中有一道“两鼠穿墙题”，原文如下：“今有垣厚十八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，其大意为：“现在有厚18尺的墙，有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两只老鼠第几天相逢？”．请同学们运用所学数列知识，判断这两只老鼠在第 天相逢？（天数取整数）
四、解答题
17．设数列的首项为常数，且．
（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；
（2）是数列的前项的和，若是递增数列，求的取值范围．
18．已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
19．已知数列的前项和满足．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设函数，求．
20.已知数列中，．
（1）是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数．
数列专练5—等比数列（二）答案
1．解：{an}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，
则a2+a3+a4＝q（a1+a2+a3），即q＝2，
∴a6+a7+a8＝q5（a1+a2+a3）＝25×1＝32，
故选：D．
2．解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
则由前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，有
，∴，
∴．
故选：C．
3．解：由等比数列的性质可得：a1a11＝，a3a13＝，
∵a1a11+2a6a8+a3a13＝25，an＞0．
∴+2a6a8+＝25＝≥，
∴a6a8≤，
又a6a8＝，
∴a72的最大值是．
故选：B．
4．解：∵a1＝1，公比|q|≠1．若a16＝a1a2a3…ak，
∴由等比数列的性质可知，a1q15＝a1kq1+2+…+（k﹣1），
∴q15＝q1+2+…+（k﹣1），即15＝1+2+…+（k﹣1）＝，
∴解得k＝6．
故选：C．
5．解：根据题意，设正项等比数列{an}的公比为q，则q＞0，
若等比数列{an}的前三项的和为7，即a1+a2+a3＝1+q+q2＝7，
变形可得q2+q﹣6＝0，解可得q＝2或﹣3（舍），
又由，即aman＝16（a1）2，则有a1qm﹣1×a1qn﹣1＝16（a1）2，变形可得m+n＝6，
所以＝，当且仅当，时，等号成立，但是m，n∈N*，故m＝2，n＝4时，取得最小值为，
故选：D．
6．解：由a1，a2，…，an∈R，n≥3．
运用柯西不等式，可得：
（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，
若a1，a2，…，an成等比数列，即有＝＝…＝，
则（a12+a22+…+an﹣12）（a22+a32+…+an2）＝（a1a2+a2a3+…+an﹣1an）2，
即由p推得q，
但由q推不到p，比如a1＝a2＝a3＝…＝an＝0，则a1，a2，…，an不成等比数列．
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
7．解：∵＝＝＝4，∴数列{an}的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以2为首项，4为公比的等比数列．
∴an＝，即an＝2n﹣1，
∴＝＝1＝26＝65．
故选：D．
8．解：设等比数列{an}的公比为q＞0．
∵a1a5＝64，a4＝16，
∴q4＝64，a1q3＝16，
∴q＝2，a1＝2．
∴an＝2n，Sn＝＝2（2n﹣1）．
则＝＝（2n++16）≥×（2+16）＝8．当且仅当n＝3时取等号．
∴的最小值为8．
故选：B．
9．解：由条件，，，
可得：，．
，，中没有最大值，的最大值为．
则下列结论正确的是．
故选：．
10．解：由题意，可设等比数列的公比为，则．
对于．
数列是一个以为首项，为公比的等比数列；
对于．
数列是一个以为首项，为公差的等差数列；
对于，
数列是一个以为公比的等比数列；
对于，
数列是一个以为公比的等比数列．
故选：．
11．解：等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，
，，，，．
根据，，可知
等比数列为正项的递减数列．
即．
，
，故选项正确；
，
．
即．故选项错误；
根据．可知
是数列中的最大项，故选项正确、选项错误．
故选：．
12．解：根据题意，依次分析选项：
对于，若数列的前项和，
若，由等差数列的性质可得数列为等差数列，
若，则数列从第二项起为等差数列，故不正确；
对于，若数列的前项和，
可得，，，
则，，成等比数列，则数列不为等差数列，故不正确；
对于，数列是等差数列，为前项和，则，，，，即为，，，，
即为为常数，仍为等差数列，
故正确；
对于，数列是等比数列，为前项和，则，，，不一定为等比数列，
比如公比，为偶数，，，，，均为0，不为等比数列．故不正确．
故选：．
13．解：数列为等比数列，
，，
，
，
．
故答案为：1．
14．解：等比数列的各项均为正数，且，
则，
故答案为：．
15．解：公比不为1的等比数列中，对任意，既是与的等差中项，又是1与的等比中项，
故有：且；
且，
舍），
，
；
故答案为：．
16．解：大老鼠打洞构成首项为1，公比为2的等比数列，
小老鼠打洞构成首项为1，公比为的等比数列，
设相遇时是第天，
则满足，
即，
即，
则在上是增函数，
（4），
（5），
相遇时是第5天，
故答案为：5．
17．解：（1），
则时，，
时，为等比数列，公比为．
时，数列不是等比数列．
（2）时，，为单调递增数列，满足条件．
时，由（1）可得：，
，
，，，
．且．
综上可得：．
18．（1）解：∵Sn＝，n∈N*．
∴当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＝3n﹣2，（*）
当n＝1时，a1＝S1＝＝1．
因此当n＝1时，（*）也成立．
∴数列{an}的通项公式an＝3n﹣2．
（2）证明：对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
则，
∴（3n﹣2）2＝1×（3m﹣2），
化为m＝3n2﹣4n+2，
∵n＞1，
∴m＝3n2﹣4n+2＝＞1，
因此对任意的n＞1，都存在m＝3n2﹣4n+2∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
19．（1）证明：因为，
所以，（1分）
所以，
所以（3分）
又，所以．（4分）
所以数列为首项为，公比为的等比数列．（5分）
（2）解：因为，
所以
因为
所以（12分）
20.解：（1）设，
因为分
若数列是等比数列，则必须（常数），
即，即分
此时，
所以存在实数，使数列是等比数列分
（2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列，
故，即分
由得，分
所以，
分
显然，当时，单调递减，
又当时，，当时，，所以当时，；
．
同理，当且仅当时，，
综上，满足满足的所有正整数为1和分
