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第五章数列专练6—数列求和（并项求和、分组求和）-2021届高三数学一轮复习
展开数列求和—并项求和、分组求和
1．等差数列中，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求的值．
解：（Ⅰ）设公差为，则，
解得，
所以；
（Ⅱ），
所以
．
2．已知等差数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和．
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，
由可得：，
即，（2分）
，解得．（4分）
，
数列的通项公式；（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：．
，
，
，
数列的前项和．（12分）
3．已知正项等差数列满足：，其中是数列的前项和．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，证明：．
解：（Ⅰ）依题意，
数列为正项等差数列，所以，
所以，整理得：，
所以，或（舍或（舍
所以数列的公差，
所以；
（Ⅱ）证明：，
，
，
命题得证．
4．为数列的前项和．已知，，且．
（1）求的通项公式
（2）设，求的值．
解：（1）可得
两式相减得，，
即，又，
，即
由已知可得，，
，
故为等差数列，．
（2），
．
5．已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，，设，求数列的前项和．
解：（1）由，，成等差数列，
可得，即，
即，
即，所以等比数列的公比为2，
又，可得，；
（2）由，，可得是首项为0，公差为1的等差数列，
则，，
，
所以的前项和为
．
6．设等差数列的前项和为，且，．数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，
由题意，得，
解得，
，
，当时，，当时，，
两式相减，得，
则数列为等比数列，
；
（Ⅱ）．
当为偶数时，
．
当为奇数时，
时，，
（法一）为偶数，，
（法二）
．
．
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