第五章数列专练9—数列求和（讨论奇偶）-2021届高三数学一轮复习
展开数列专练9—数列求和（讨论奇偶）
1．在等差数列中，已知公差，是与的等比中项．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，记，求．
解：（Ⅰ）是与的等比中项，
，
在等差数列中，公差，
，即，
化为，解得．
．
（Ⅱ），
．
当时，
．
当时，
．
故．
（也可以利用“错位相减法”
2．已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为 ，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若实数使得对任意恒成立，求的取值范围．
解：（1）设等比数列的公比为，
由，，成等差数列，可得：
，
即，
即有，即为，
解得，
由等比数列不是递减数列，可得，
即．
（2）由（1）得
当为奇数时，随的增大而减小，所以
．
当为偶数时，随的增大而增大，所以
实数使得对任意恒成立，则的取值范围为，
3．已知为等差数列，为等比数列，，，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，则，可得，
，
，，
，
解得，
；
（Ⅱ）证明：法一：由（Ⅰ）可得，
，，
，
；
法二：数列为等差数列，且，
，，，
，
；
（Ⅲ），当为奇数时，，
当为偶数时，，
对任意的正整数，有，
和，①，
由①可得，②，
①②得，
，
因此．
数列的前项和．
4．设是等差数列，是等比数列，公比大于0．已知，，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足求．
解：（Ⅰ）是等差数列，是等比数列，公比大于0．
设等差数列的公差为，等比数列的公比为，．
由题意可得：①；②
解得：，，
故，
（Ⅱ）数列满足，
令①，
则②，
②①得：
；
故
5．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和．
解：（Ⅰ）等差数列的公差为2，前项和为，
，
，，成等比数列，
，
，化为，解得．
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
．
当为偶数时，．
当为奇数时，．
．
6．等比数列中．，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且，，中的任何两个数不在下表的同一列．
| 第一列 | 第二列 | 第三列 |
第一行 | 3 | 2 | 10 |
第二行 | 6 | 4 | 14 |
第三行 | 9 | 8 | 18 |
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）如数列满足，求数列的前项和．
解：（Ⅰ）当时，不合题意
当时，当且仅当，时符合题意
当时，不合题意
因此，，，所以，
所以．
（Ⅱ）
所以
所以当为偶数时，
当为奇数时，
综上所述
