第五章数列专练8—数列求和（裂项相消）-2021届高三数学一轮复习
展开数列专练8—数列求和（裂项相消）
1．若数列的前项和为，点，在的图象上，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，且对任意正整数都有，求证：对任意正整数，总有．
解：点，在的图象上，
，
当时，，
，化为，
当时，，解得．
．
（2）证明：对任意正整数都有，
．
当时，．
，
又．
．
2．已知数列和数列，数列的前项和记为，，，点，在对数函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前项和，求使对所有都成立的最小正整数．
解（1）由可得，
两式相减得，即，又，所以，
故是首项为1，公比为3的等比数列，
所以，
所以．（7分）
（2），（9分）
所以（11分）
因此，使得成立的必须且仅须满足，
即，满足要求的最小整数为（14分）
3．设数列满足且．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，记，证明：．
解：（Ⅰ）是公差为1的等差数列，
，
．
（Ⅱ），
．
4．已知数列的前项和为，，，．
（1）求；
（2）求．
解：（1），，，
可得，
可得，
即数列为首项为2，公差为2的等差数列，
可得，
由，可得；
（2）
，
即有
．
5．已知正数数列的前项和为，满足，，．
（Ⅰ）求证：是等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）令，数列的前项和为，求使得对于所有都成立的最小正整数．
证明：，，
，，
又正数数列的前项和为，．
，
是等差数列，公差为1，首项为1．
解：由可得：，
．
．
解：，
数列的前项和为
，
使得对于所有都成立，则，解得．
因此使得对于所有都成立的最小正整数．
6．设各项均为正数的数列的前项和为满足，．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切正整数，有．
解：（1）令得：，即．
．
，，即．
（2）由得：
．
，
．
．
当时，，
又，
．
（3）由（2）可知，
，，
当时，显然有；
当时，
所以，对一切正整数，有．
7．正项数列的前项和满足：，
（1）求数列的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，证明：对于任意的且，都有 ．
解：（1）由已知得．（2分）
由于是正项数列，
所以．（3分）
于是，（4分）
当时，．（6分）
综上，数列的通项．（7分）
（2）证明：当时，由，
得．（9分）
（12分）
．（14分）
8.已知数列，，．
（1）证明是等比数列．
（2）若，求数列的前项和．
（3）证明．
（1）证明：由．
可得：，当时，，，
是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）解：，
，
，
；
（3）证明：，
，
又
，
，
综上：．
9．数列的前项和记为，对任意的正整数，均有，且．
（1）求及的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
解：（1）当时，，则；
当时，由，知，
联立两式，得，
化简得，
，，
即是以为首项，2为公差的等差数列，
故；
（2），
下面对分奇偶数讨论：
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
所以．
