最新高考数学大一轮复习综合模拟预测卷（一）新人教版

仿真考(一)　高考仿真模拟冲刺卷(C)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知复数z＝，则z的共轭复数＝(　　)
A．1 B．－1 C．i D．－i
2．已知条件p：x≥1，条件q：<1，则綈p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值为(　　)
A．－1 B．1 C．3 D．－3
4．已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)
A.＝－0.2x＋3.3 B.＝0.4x＋1.5 C.＝2x－3.2 D.＝－2x＋8.6
5．若等比数列{an}的各项均为正数，a1＋2a2＝3，a＝4a2a6，则a4＝(　　)
A. B. C. D.
6.

右面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　)
A．2,5 B．5,5
C．5,8 D．8,8
7.

执行如图所示的程序框图，当输入的x∈[1,13]时，输出的结果不小于95的概率为(　　)
A. B. C. D.
8．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为4}，则P(B|A)＝(　　)
A. B. C. D.
9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)

A. B. C. D.
10．设函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，f(0)＝1，且3f(x)＝f′(x)－3，则4f(x)>f′(x)的解集是(　　)
A. B.
C. D.
11．已知函数f(x)＝asinx－bcosx(a，b为常数，a≠0，x∈R)在x＝处取得最大值，则函数y＝f是(　　)
A．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称
B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称
D．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称
12．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，不垂直于x轴且不过F点的直线l与椭圆C交于M，N两点，若∠MFN的外角平分线与直线MN交于点P，则P点的横坐标为(　　)
A．2 B. C．3 D．4
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＝1－(n≥3，n∈N*)，则a6＝________.
14．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a＋b)⊥a，则向量a和b的夹角是________．
15．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.
根据表中数据，得到K2的观测值k＝≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为__________．
16．六张卡片上分别写有数字0,1,2,3,4,5，从中任取四张排成一排，可以组成不同的四位奇数的个数为________．
三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋＝4cosC，b＝1.
(1)若A＝90°，求△ABC的面积；
(2)若△ABC的面积为，求a，c.



18.(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．



19．(本小题满分12分)

如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥V－ABC的体积．



20．(本小题满分12分)
已知椭圆C：＋y2＝1(常数a>1)的离心率为，M，N是椭圆C上的两个不同动点，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知A(a,1)，B(－a,1)，满足kOM·kON＝kOA·kOB(kOM表示直线OM的斜率)，求|MN|取值的范围．



21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝－aln(1＋x)(a∈R)，g(x)＝x2emx(m∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的最大值；
(2)若a<0，且对任意的x1，x2∈[0,2]，f(x1)＋1≥g(x2)恒成立，求实数m的取值范围．




请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ2－4ρcosθ＋3＝0，θ∈[0,2π]，曲线C2：ρ＝，θ∈[0,2π]．
(1)求曲线C1的一个参数方程；
(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．






23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－a|＋的最小值为2.
(1)求实数a的值；
(2)若a>0，求不等式f(x)≤4的解集．





1．D　本题考查复数的概念、运算．复数z＝＝i，则z的共轭复数是＝－i，故选D.
实部相等、虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数．
2．D　本题考查充分条件、必要条件的判断．条件q：<1⇔<0⇔x<0或x>1，则綈p：x<1，则綈p是q的既不充分也不必要条件，故选D.从集合的角度理解充分条件和必要条件：若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件．
3．B　本题考查线性规划，约束条件对应的平面区域是以点(2,1)，(4,2)和(3,0)为顶点的三角形，当目标函数y＝x－z经过点(2,1)时，－z取得最大值，此时z取得最小值1，故选B.本题的突破点是弄清目标函数的几何意义．
易错点拨：本题中－z表示直线在y轴上的截距，当z最小时，－z取得最大值，同时目标函数所在直线的斜率与边界直线的斜率大小关系不能弄错．
4．A　本题考查线性回归方程的性质．因为x与y负相关，所以排除选项B，C；又线性回归方程过样本点的中心，线性回归方程过点(3,2.7)，将点(3,2.7)代入选项A，D中，只有选项A符合，故选A.本题根据线性回归方程的性质，x与y负相关，则线性回归方程中x的系数为负数；样本点的中心的坐标是样本平均数，而线性回归方程过样本点的中心．
5．C　本题考查等比数列的性质、通项公式．设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由a＝4a2a6＝4a，又an>0，则a3＝2a4，q＝＝，则a1＋2a2＝2a1＝3，a1＝，则a4＝a1q3＝×＝，故选C.灵活应用等比数列的性质是解题的关键．
知识拓展：等比数列的性质：若{an}是等比数列，且m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*，则aman＝apaq，特别地，若m＋n＝2p，m，n，p∈N*，则aman＝a在解题中具有广泛的应用．
6．C　由于甲组数据的中位数为15＝10＋x，
∴x＝5.
又乙组数据的平均数为＝16.8，∴y＝8.∴x，y的值分别是5,8.
7．C　本题考查程序框图的识别、算法的意义及几何概型的计算．开始输入x∈[1,13]，n＝1；第一次循环时，x∈[3,27]，n＝2；第二次循环时，x∈[7,55]，n＝3；第三次循环时，x∈[15,111]，n＝4；第四次循环时，x∈[31,223]，n＝5>4，此时程序结束，输出的数是从31到223的所有数，其中大于或等于95的数的范围在95到223之间，即其概率为P＝＝＝，故选C.
本题利用程序框图计算出的是某一个区间的数，根据这些数在数轴上表示的区间的比值即可计算出概率值．
8．C　本题考查条件概率．由题意可得P(AB)＝＝，P(A)＝＝，由条件概率的公式可得P(B|A)＝＝＝，故选C.本题的突破点是条件概率计算公式的应用．
9．A　本题考查三视图、几何体的体积．由三视图可得该几何体是三棱柱ABC－A1B1C1截去一个三棱锥A1－B1C1C后余下的五面体，三棱柱的底面是以2为直角边的等腰直角三角形，高为2，则该几何体的体积是×2×2×2－××22×2＝，故选A.

本题的突破点是由三视图得几何体的直观图．
10．B　本题考查导数在函数中的应用．设g(x)＝，则g′(x)＝，又因为3f(x)＝f′(x)－3，所以g′(x)＝＝0，即函数g(x)在R上为常函数，设g(x)＝＝c(c为常数)，则f(x)＝c·e3x－1，又因为f(0)＝c·e3×0－1＝1，所以c＝2，则f(x)＝2e3x－1，则f′(x)＝6e3x，则4f(x)>f′(x)等价于4(2e3x－1)>6e3x，解得x>，即4f(x)>f′(x)的解集为，故选B.根据题意合理构造函数是解题的关键．
11．B 　本题考查三角恒等变换及三角函数的性质．∵f(x)＝asinx－bcosx＝sin(x－φ)，其中tanφ＝，其在x＝处取得最大值，则－φ＝＋2kπ(k∈Z)，即－φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴f(x)＝·sin(x－φ)＝sin，∴f＝sin＝cosx，其是偶函数，且图象关于点(k∈Z)对称，故选B.本题先要将三角函数进行三角恒等变换化成最简形式，然后观察其性质．
12．D　解析：本题考查直线与椭圆的位置关系．解法一：如图，过点M作MF′∥NF交FP于F′，设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由MF′∥NF，∠1＝∠2得∠1＝∠3，MF＝MF′，由MF′∥NF得＝，故＝.由椭圆第二定义知e＝＝，又a＝2，e＝，∴＝；又由＝得＝，解得x0＝4，故选D.


解法二：令M，N(－2,0)，则∠NFM＝，则角平分线FP所在直线的方程为y＝x－1，直线MN的方程为y＝(x＋2)，联立解得∴P(4,3)，故选D.
本题的突破点是特殊值法的应用．
13.
解析：本题考查数列的通项．由题意可得a3＝1－＝，a4＝1－＝1－＝，a6＝1－＝1－＝.本题的突破点是依次赋值，再正确运算即可．
14.
解析：本题考查平面向量的运算、平面向量垂直的条件．因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝|a|2＋|a|·|b|cos〈a，b〉＝3＋2×cos〈a，b〉＝0，解得cos〈a，b〉＝－，则向量a，b的夹角为.两向量垂直，则它们的数量积为零．
15．5%
解析：K2的观测值k≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该判定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.
16．144
解析：本题考查排列组合的应用．∵0,1,2,3,4,5这6个数字中含3个奇数；1,3,5；要使组成的四位数是奇数，则首先要保证其末位是奇数，共有C种取法；其次要保证其首位不为0，此时首位只有2,4这2个偶数及剩下的2个奇数可取，共有C种取法；剩下还有4个数字，将它们填入中间两个数位中，有A种取法；故共有CCA＝144种取法．本题中要求是奇数，因此其最末一位要是奇数，此外首位还不能为0，注意这两点后即可得到结果．
17．分析：本题考查同角三角函数的基本关系、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．(1)利用余弦定理、三角形面积公式求解；(2)利用三角形面积公式，结合平方关系求解．
解：(1)∵a＋＝4cosC＝4×＝，b＝1，
∴2c2＝a2＋1.(2分)
又∵A＝90°，∴a2＝b2＋c2＝c2＋1.
∴2c2＝a2＋1＝c2＋2，∴c＝，a＝.(4分)
∴S△ABC＝bc＝×1×＝.
∴△ABC的面积为.(6分)
(2)∵S△ABC＝absinC＝asinC＝，则sinC＝.(8分)
∵a＋＝4cosC，sinC＝，
∴2＋2＝1，化简得(a2－7)2＝0，(10分)
∴a＝，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得c＝2.(12分)
18．解：(1)当n＝1，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
a1也满足an＝n，
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
则A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
19．解析：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，
所以OM∥VB.
又因为VB⊄平面MOC，
所以VB∥平面MOC.
(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，
所以OC⊥AB.
又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，
所以OC⊥平面VAB.
所以平面MOC⊥平面VAB.
(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝，
所以AB＝2，OC＝1.
所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝.
又因为OC⊥平面VAB，
所以三棱锥C－VAB的体积等于OC·S△VAB＝.
又因为三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－VAB的体积相等，
所以三棱锥V－ABC的体积为.
20．分析：本题考查圆锥曲线的方程及直线与圆锥曲线交点问题，考查考生的计算能力及整体代换思想的应用．(1)根据椭圆的离心率，可以直接计算出椭圆的方程；(2)分直线斜率存在与不存在两种情况进行讨论，设出直线方程，联立方程组写出线段|MN|长度表达式，最终求出其取值范围．
解：(1)由题意得＝，解得a＝.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(3分)
(2)解法一：由(1)得a＝，故点A(，1)，B(－，1)．
①当MN的斜率不存在时，不妨设M(x1，y1)，N(x1，－y1)且y1>0，
则kOM·kON＝－＝kOA·kOB＝－，化简得x＝2y，
由点M(x1，y1)在椭圆上得＋y＝1.
联立方程解得x1＝±1，y1＝，
得|MN|＝y1－(－y1)＝2y1＝(为定值)．(5分)
②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋t，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y可得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2(t2－1)＝0，
则Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)·2(t2－1)＝8(2k2＋1－t2)>0，
即2k2＋1－t2>0，(*)
x1＋x2＝，x1x2＝，(8分)
y1y2＝(kx1＋t)(kx2＋t)＝k2x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝，
又kOM·kON＝＝kOA·kOB＝－，得x1x2＋2y1y2＝0，
即＋2＝0，
解得2t2＝2k2＋1，代入(*)得t2>0，且2t2＝2k2＋1≥1，
故t2≥，且k2＝，(10分)
所以|MN|＝|x1－x2|＝2·＝ ∈(，2]．
综上所述，≤|MN|≤2.(12分)
解法二：由条件得＝－＝－，
平方得xx＝4yy＝(2－x)(2－x)，即x＋x＝2，(8分)
又x＝2(1－y)，x＝2(1－y)得y＋y＝1.
设y1＝cosθ，y2＝sinθ，
则|MN|＝
＝
＝＝，(10分)
当sin2θ＝1时，|MN|max＝2，
当sin2θ＝－1时，|MN|min＝，所以≤|MN|≤2.(12分)
21．分析：本题考查导数在函数中的应用，考查考生的分析能力和运算能力．(1)先求导，根据导函数的符号确定函数的单调性，进而求解最值；(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题求解．
解：(1)函数f(x)的定义域为x∈(－1，＋∞)，(1分)
当a＝1时，f(x)＝－ln(1＋x)，
f′(x)＝－＝，(2分)
∴当x∈(－1,0)时，f′(x)>0函数f(x)在(－1,0)上单调递增．(3分)
∴当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，(4分)
∴f(x)max＝f(0)＝0.(5分)
(2)令φ(x)＝f(x)＋1＝－aln(1＋x)＋1，
“当a<0时，对任意的x1，x2∈[0,2]，f(x1)＋1≥g(x2)恒成立”等价于“当a<0时，对任意的x1，x2∈[0,2]，φ(x)min≥g(x)max恒成立”，(6分)
φ′(x)＝－＝，
当a<0时，∀x∈[0,2]有φ′(x)>0，函数φ(x)在[0,2]上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(0)＝1.(7分)
g′(x)＝2xemx＋x2emx·m＝(mx2＋2x)emx，(8分)
若m＝0，则g(x)＝x2，
当x∈[0,2]时，g(x)max＝g(2)＝4，显然不满足g(x)max≤1，(9分)
若m≠0，令g′(x)＝0得x1＝0，x2＝－，
①当－≥2，即－1≤m<0时，在[0,2]上g′(x)≥0，g(x)单调递增，此时g(x)max＝g(2)＝4e2m，由4e2m≤1，得m≤－ln2，∴－1≤m≤－ln2；(10分)
②当0<－<2，即m<－1时，在上g′(x)≥0，g(x)单调递增，在上g′(x)<0，g(x)单调递减，此时g(x)max＝g＝，由≤1，得m≤－，∴m<－1；(11分)
③当－<0，即m>0时，在[0,2]上，g′(x)≥0，g(x)单调递增，此时g(x)max＝g(2)＝4e2m,4e2m≤1不成立，
综上所述，m的取值范围是(－∞，－ln2]．(12分)
22．分析：本题考查直线的极坐标方程、圆的参数方程以及直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．考查数形结合思想、化归与转化思想等．(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，再求圆的参数方程；(2)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用弦长公式求解．
解：(1)由ρ2－4ρcosθ＋3＝0可知x2＋y2－4x＋3＝0.
∴(x－2)2＋y2＝1.(2分)
令x－2＝cosα，y＝sinα，
∴C1的一个参数方程为(α为参数，α∈R)．(4分)
(2)C2：4ρ＝3，
∴4＝3，即2x－2y－3＝0.(6分)
∵直线2x－2y－3＝0与圆(x－2)2＋y2＝1相交于A，B两点，
∴圆心到直线的距离d＝，(8分)
∴|AB|＝2× ＝.(10分)
23．分析：(1)本题考查含有绝对值的函数的最值、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、分类与整合思想、化归与转化思想等．(1)对a的不同范围分别去掉绝对值转化为分段函数，利用函数单调性、最小值建立关于a的方程求解；(2)利用零点分区间讨论法去掉绝对值，结合函数图象解不等式．
解：(1)当a≥－2时，f(x)＝
∴f(x)最小值＝1＋＝2，a＝2.(2分)
当a≤－2时，f(x)＝
∴f(x)最小值＝－－1＝2，a＝－6.(4分)
综上可知，a＝2或a＝－6.(5分)
(2)由(1)知，a>0时，a＝2.
不等式f(x)≤4，即|x－2|＋|x＋2|≤4.(6分)
由(1)知f(x)＝(8分)
由x－1＝4得x＝；由－x＋3＝4得x＝－2，
∴不等式的解集为.(10分)

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