第五章数列专练10—证明不等式-2021届高三数学一轮复习
展开数列专练10—证明不等式
1．已知数列满足：且
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）证明：．
解：（1）由题得：，
即，
故即数列为等比数列，（3分）
，
（7分）
（2）由（1）知（8分）
2．设各项均为正数的数列的前项和为满足，．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切正整数，有．
解：（1）令得：，即．
．
，，即．
（2）由得：
．
，
．
．
当时，，
又，
．
（3）由（2）可知，
，，
当时，显然有；
当时，
所以，对一切正整数，有．
3．设数列的前项和为，已知，，．
（Ⅰ） 求数列的通项公式；
（Ⅱ） 证明：对一切正整数，有．
（Ⅰ）解：，．
①
当时，②
由①②，得，
，
，
，
数列是以首项为，公差为1的等差数列．
，
．
当时，上式显然成立．
；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
①当时，，原不等式成立．
②当时，原不等式亦成立．
③当时，，
，
当时，原不等式亦成立．
综上，对一切正整数，有．
4．设数列的前项和为，满足，，且，，成等差数列．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切正整数，有．
解：（1）在中，
令得：，
令得：，
解得：，
又
解得
（2）由，①
，②
①②得：，
又，也满足，
所以对成立
，又，，
，
；
（3）
，
5．数列满足，．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求证：．
（1）解：令，得；令，有，得；
令，有，得．
（2）解：，（1）式
所以，当时，，（2）式
两式相减得：，．
当时，也适合，
．
（3）证明：，
当时，；当时，；
当时，，，
综合可得：．
6．设等差数列的前项和为，，．数列满足：对每个，，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）记，，证明：，．
解：（Ⅰ）设数列的公差为，
由题意得，
解得，，
，．
，，
数列满足：对每个，，，成等比数列．
，
解得，
解得，．
（Ⅱ）证明：，，
用数学归纳法证明：
①当时，，不等式成立；
②假设，时不等式成立，即，
则当时，
，
即时，不等式也成立．
由①②得，．
