2018-2019学年广东省东莞市南城区宏远外国语学校九上期中数学试卷

这是一份2018-2019学年广东省东莞市南城区宏远外国语学校九上期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 将一元二次方程 x2−2x−2=0 通过配方后所得的方程是
A. x−22=2B. x−12=2C. x−12=3D. x−22=3

3. 抛物线 y=x−12+3 的对称轴是
A. 直线 x=1B. 直线 x=3C. 直线 x=−1D. 直线 x=−3

4. 圆心在原点 O，半径为 5 的 ⊙O，点 P4,−3 与 ⊙O 的位置关系是
A. 在 ⊙O 内B. 在 ⊙O 上C. 在 ⊙O 外D. 不能确定

5. 方程 x2−4x−m2=0 的根的情况是
A. 一定有两个不等实数根B. 一定有两个实数根
C. 一定有两个相等实数根D. 一定无实数根

6. 某厂一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量达到为 720 吨．若平均每月增长率是 x，则可以列方程
A. 5001+2x=720B. 5001+x2=720
C. 5001+x2=720D. 7201+x2=500

7. 已知点 P1a,−2 和 P23,b 关于原点对称，则 a+b2016 的值为
A. 1B. −1C. 2016D. −2016

8. 如图，在 ⊙O 中，直径 AB⊥ 弦 CD 于点 M，AB=10，BM=2，则 CD 的长为
A. 4B. 6C. 10D. 8

9. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，四边形 ABCD 为 ⊙O 的内接四边形，点 P 在 BA 的延长线上，PD 与 ⊙O 相切，D 为切点，若 ∠BCD=125∘，则 ∠ADP 的大小为
A. 25∘B. 40∘C. 35∘D. 30∘

10. 如图，二次函数 y=ax2+bx+cb≠0 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标 −1,0，下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c<0；③ac>0；④ 当 y>0 时，−1A. ②④B. ①③C. ①④D. ①②④

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 方程 x2−16=0 的解为 ．

12. 若方程 x2−3x−1=0 的两根为 x1，x2，则 1x1+1x2 的值为 ．

13. 若关于 x 的函数 y=kx2+2x−1 与 x 轴仅有一个公共点，则实数 k 的值为 ．

14. 如图，将 Rt△ABC（其中 ∠B=32∘，∠C=90∘）绕点 A 顺时针方向旋转到 △AB1C1 的位置，使得点 C，B，C1 在同一条直线上，那么旋转角等于 ∘．

15. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，∠AOE=78∘，点 C，D 是弧 BE 的三等分点，则 ∠COE= ．

16. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D，E 都是 ⊙O 上的点，则 ∠1+∠2= ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x−52=2x−5．

18. 已知 x=−1 是方程 x2+mx−5=0 的一个根，求 m 的值及方程的另一个根．

19. 如图，在 △ABC 中，以 AB 为直径的 ⊙O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，BD=DC．求证：AB=AC．

20. 如图，△ABC 的顶点坐标分别为 A−2,5，B−4,1，和 C−1,3．
（1）作出 △ABC 关于原点对称的 △A1B1C1，并写出点 A，B，C 的对称点 A1，B1，C1 的坐标．
（2）作出将 △ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90∘ 的 △A2B2C2．

21. 如图，在 △ABD 中，AD=BD，将 △ABD 绕点 A 逆时针旋转得到 △ACE，使点 C 落在直线 BD 上．
（1）求证：AE∥BC；
（2）连接 DE，判断四边形 ABDE 的形状，并说明理由．

22. 为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克 20 元，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元/千克）有如下关系：y=−2x+80．设这种产品每天的销售利润为 w 元．
（1）求 w 与 x 之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?

23. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，⊙O 是 △ABC 的内切圆，切点分别是 D，E，F．
（1）连接 OA，OB，则 ∠AOB= ．
（2）若 BD=6，AD=4，求 ⊙O 的半径 r．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BE 平分 ∠ABC 交 AC 于点 E，点 D 在 AB 边上且 DE⊥BE．
（1）判断直线 AC 与 △DBE 外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若 AD=6，AE=62，求 △DBE 外接圆的半径及 CE 的长．

25. 如图，直线 y=3x+3 交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点，过 A，B 两点的抛物线交 x 轴于另一点 C3,0．
（1）求 A，B 的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使 △ABQ 是等腰三角形?若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，因此：
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
2. C【解析】∵x2−2x−2=0，
∴x2−2x=2．
∴x2−2x+1=1+2．
∴x−12=3，
∴ 答案选择C项．
3. A【解析】抛物线 y=x−12+3 的对称轴是直线 x=1．
4. B【解析】∵OP=42+32=5，
∴d=r=5，
∴ 根据点到圆心的距离等于半径，则点 P 在圆上．
5. A
【解析】根据题意可得：Δ=−42−4×1×−m2=16+4m2>0，
则方程有两个不相等的实数根．
6. B
7. A【解析】由 P1a,−2 和 P23,b 关于原点对称，得
a=−3，b=2．
∴a+b2016=−12016=1．
8. D【解析】连接 OC，
∵AB=10，
∴OC=OB=OA=5，
∴OM=OB−BM=5−2=3，
由勾股定理得，CM=OC2−OM2=52−32=4，
∵ 直径 AB⊥ 弦 CD，
∴CD=2CM=8．
9. C【解析】连接 AC，OD．
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠ACD=125∘−90∘=35∘，
∴∠AOD=2∠ACD=70∘．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠ADO=55∘．
∵PD 与 ⊙O 相切，
∴OD⊥PD，
∴∠ADP=90∘−∠ADO=90∘−55∘=35∘．
10. C
【解析】∵ 点 B 坐标 −1,0，对称轴是直线 x=1，
∴A 的坐标是 3,0，
∴OA=3，
∴① 正确；
∵ 由图象可知：当 x=1 时，y>0，
∴ 把 x=1 代入二次函数的解析式得：y=a+b+c>0，
∴② 错误；
∵ 抛物线的开口向下，与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，
∴a<0，c>0，
∴ac<0，
∴③ 错误；
∵ 由图象可知：当 y>0 时，−1 ∴④ 正确．
第二部分
11. x=±4
【解析】方程 x2−16=0，
移项，得 x2=16，
开平方，得 x=±4．
12. −3
【解析】因为 x2−3x−1=0 的两根为 x1，x2，
所以 x1+x2=3，x1x2=−1．
1x1+1x2=x1+x2x1x2=3−1=−3，
故答案为：−3．
13. 0 或 −1
14. 122
【解析】∵∠B=32∘，∠C=90∘，
∴∠BAC=58∘，
∵ 将 Rt△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转到 △AB1C1 的位置，使得点 C，B，C1 在同一条直线上，
∴∠BAB1=180∘−58∘=122∘，
∴ 旋转角等于 122∘，
故答案为 122∘．
15. 68∘
【解析】∵∠AOE=78∘，
∴ 劣弧 AE 的度数为 78∘．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴ 劣弧 BE 的度数为 180∘−78∘=102∘．
∵ 点 C，D 是弧 BE 的三等分点，
∴∠COE=23×102∘=68∘．
16. 90∘
【解析】连接 OE，
∵ ∠1=12∠AOE，∠2=12∠BOE，
∴ ∠1+∠2=12∠AOE+12∠BOE=12∠AOE+∠BOE=12×180∘=90∘．
第三部分
17.
x−52−2x−5=0.x−5x−5−2=0.x−5x−7=0.
所以
x−5=0,x−7=0.
即
x1=5,x2=7.
18. 由题意得 1+m−5=0，解得 m=4．
则原方程可化为 x2+4x−5=0，解得 x1=1，x2=−5．
∴ 另一个根为 −5．
19. 连接 AD，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘=∠ADC，
∵BD=DC，
∴∠BAD=∠EAD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
20. （1） 如图，△A1B1C1 即为所求．
A12,−5，B14,−1，C11,−3．
（2） 如图，△A2B2C2 即为所求．
21. （1） 由旋转性质得 ∠BAD=∠CAE，AB=AC，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠DCA；
∴∠CAE=∠DCA，
∴AE∥BC．
（2） 四边形 ABDE 是平行四边形，理由如下：
由旋转性质得 AD=AE，
∵AD=BD，
∴AE=BD，
又 ∵AE∥BC，
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形．
22. （1） 由题意得：w=x−20⋅y=x−20−2x+80=−2x2+120x−1600，
∴w 与 x 的函数关系式为：w=−2x2+120x−1600．
（2） w=−2x2+120x−1600=−2x−302+200，
∵−2<0，
∴ 当 x=30 时，w 有最大值．w 最大值为 200．
答：该产品销售价定为每千克 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200 元．
23. （1） 135∘
【解析】∵⊙O 是 △ABC 的内切圆，
∴O 为 △ACB 的内心，
∴∠OBA=12∠ABC，∠OAB=12∠CAB，
∵∠C=90∘，
∴∠CAB+∠CBA=90∘，
∴∠OBA+∠OAB=12×90∘=45∘，
∴∠AOB=180∘−∠45∘=135∘．
（2） 连接 EO，FO，
∵⊙O 是 △ABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，BD=BE，AD=AF，EC=CF，
又 ∵∠C=90∘，
∴ 四边形 ECFO 是矩形，
又 ∵EO=FO，
∴ 矩形 OECF 是正方形，
设 EO=x，
则 EC=CF=x，
在 Rt△ABC 中，BC2+AC2=AB2，
故 x+62+x+42=102，
解得：x=2，
即 ⊙O 的半径 r=2．
24. （1） 直线 AC 与 △DBE 外接圆相切．理由：
∵DE⊥BE，
∴BD 为 △DBE 外接圆的直径，
取 BD 的中点 O（即 △DBE 外接圆的圆心），连接 OE．
∴OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE．
∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠OBE=∠CBE．
∴∠OEB=∠CBE．
∵∠CBE+∠CEB=90∘，
∴∠OEB+∠CEB=90∘，即 OE⊥AC．
∴ 直线 AC 与 △DBE 外接圆相切．
（2） 设 ⊙O 的半径为 r，
则在 Rt△AOE 中，AD=6，AO=r+6，AE=62，
OA2=OE2+AE2，即 r+62=r2+622，解得 r=3．
则 △BDE 的外接圆的半径为 3．
过点 E 作 EF⊥AB 于 F，
∵BE 平分 ∠ABC，∠C=90∘，
∴EF=EC．
在 Rt△AOE 中，AO=6+3=9，
12AE⋅EO=12AO⋅EF，
EF=EA⋅EOAO=62×39=22，
∴CE=EF=22．
∴ 外接圆的半径为 3，CE 的长为 22．
25. （1） ∵y=3x+3，
∴ 当 x=0 时，y=3，
当 y=0 时，x=−1，
∴A−1,0，B0,3．
（2） 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，由题意，
得 0=a−b+c,3=c,0=9a+3b+c,
解得 a=−1,b=2,c=3.
∴ 抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3．
（3） ∵y=−x2+2x+3，
∴y=−x−12+4，
∴ 抛物线的对称轴为 x=1，
设 Q1,a，
（1）当 AQ=BQ 时，如图，
由勾股定理可得：
BQ=BF2+QF2=1−02+3−a2，
AQ=AD2+QD2=22+a2，
AQ=BQ，
即 1−02+3−a2=22+a2，
解得 a=1，
∴Q1,1；
（2）如图：
当 AB 是腰时，Q 是对称轴与 x 轴交点时，AB=BQ，
∴1−02+a−32=10，
解得：a=0或6，
当 Q 点的坐标为 1,6 时，其在直线 AB 上，A，B 和 Q 三点共线，舍去，
则此时 Q 的坐标是 1,0；
（3）当 AQ=AB 时，如图：
22+a2=10，
解得 a=±6，
则 Q 的坐标是 1,6 和 1,−6．
综上所述：Q1,1,1,0,1,6,1,−6．