郓城县2020-2021年第一学期九年级上期中试题
展开2020——2021学年度九年级数学期中试题
（满分120分，时间：120分钟）
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填入该小题后的括号内，每小题3分，共24分）
1.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为
A．5 B．4 C. D.
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E.若∠ADC=130°,则∠AOE的大小为
A.75° B.65° C.55° D.50°
3.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是
A.x2+65x-350=0 B.x2+130x-1400=0 C.x2-130x-1400=0 D.x2-65x-350=0
4.把方程x2－10x＝－3左边化成含有x的完全平方式，下列做法正确的是
A．x2－10x＋(－5)2＝28 B．x2－10x＋(－5)2＝22
C．x2＋10x＋52＝22 D．x2－10x＋5＝2
5.如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1(1，0)，A2(2，0)，B1(0，1)，B2(0，2)，分别以A1，A2，B1，B2中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是
A. B. C. D.
6.由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说法正确的是
A．两个转盘转出蓝色的概率一样大
B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C．游戏者配成紫色的概率为
D．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成
紫色的概率不同
7.已知2x＝3y，则下列比例式成立的是
A. B. C. D.
8.如图，线段AB两个端点的坐标分别是A(6,4)，B(8,2)，以原点O
为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
则端点C的坐标为
A.(3,2) B.(4,1) C.(3,1) D.(4,2)
二、填空题（每小题3分，共18分）
- 如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另
一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ；
10.已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝ ；
11.某校举办艺术节，校舞蹈队队长小颍准备购买某种演出服装，商店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小颖一次性购买这种服装付了1200元，则她购买了这种服装 件；
12.在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取到白色棋子的概率是.若再往盒中放进3颗黑色棋子，则取到白色棋子的概率变为，原来围棋盒中有白色棋子______颗；
13.下面关于两个图形相似的判断：①两个等腰三角形相似；②两个等边三角形相似；③两个等腰直角三角形相似；④两个正方形相似；⑤两个等腰梯形相似．其中正确的是____.(填写序号)
14.如图，已知△ABC中，若BC＝6，△ABC的面积为12，四边形
DEFG是△ABC的内接的正方形，则正方形DEFG的边长是 .
三、解答题（共78分,解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.用适当的方法解下列方程．（每小题3分，共12分）
(1)x(x－2)＋x－2＝0； (2)x2－4x－192＝0；
(3)3x2－5x＋1＝0； (4)4x2－3＝12x．
16.(6分)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
17.(6分) 甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为－7、－1、3，乙袋中的三张卡片所标的数值为－2、1、6，先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值，把x，y分别作为点A的横坐标和纵坐标．
(1)用适当的方法写出点A(x，y)的所有情况；
(2)求点A落在第三象限的概率．
18.（7分）在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．
(1)从A、D、E、F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是______；
(2)从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率(用树状图或列表法求解)．
19.（7分）已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE＝CF.
20.(8分)如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，
连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF．
（1）求证：△AED≌△CFD；
（2）求证：四边形AECF是菱形．
（3）若AD=3，AE=5，则菱形AECF的面积是多少？
21.（7分）如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长．
22.（8分） 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE∥AB，交BF的延长线于点E，AG⊥BE，垂足是G，连接BD，AE.
(1)求证：△ABC∽△BGA；
(2)若AF＝5，AB＝8，求FG的长；
23.（8分）已知一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0的一个根为2.
(1)求q关于p的关系式；
(2)求证：方程x2＋px＋q＝0有两个不等的实数根；
(3)若方程x2＋px＋q＋1＝0有两个相等的实数根，求方程x2＋px＋q＝0两根．
24．(11分)如图所示，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA>OB.
(1) 若点E为x轴上的点，且△AOE的面积为，求点E的坐标；△AOE∽△DAO.
(2) 若点M在平面直角坐标系中,则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由.
2020——2021学年度九年级数学期中试题
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1、D 2、B 3、A 4、B 5、D 6、C 7、C 8、A
二、填空题（每小题3分，共18分）
9.－1 10.8 11.20 12.2 13.②③④ 14.
三、解答题（共10个小题，共78分）
15.解：(1)x(x－2)＋x－2＝0
移项变形，得（x+1）(x－2)=0…………………………………………………2分
x+1=0,或x－2=0
即x1=-1或x1=2………………………………………………………3分
（2）x2－4x－192＝0
配方，得 (x-2)2=196……………………………………………………2分
两边开平方得：x-2=±14
即x1=16或x1=-12………………………………………………………3分
(3)3x2－5x＋1＝0
a=3,b=-5,c=1
△=(-5)2-4×3×1=13>0………………………………………………1分
x1＝，x2＝ ……………………………………………3分
(4)4x2－3＝12x
原方程可化为：4x2－12x-3＝0
a=4,b=-12,c=-3
△=(-12)2-4×4×（-3）=192>0…………………………………………1分
x1＝，x2＝ ……………………………………………3分
16.解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)．
答：此批次蛋糕属第三档次产品………………………………………………2分
(2)设烘焙店生产的是第x档次的产品，
根据题意得：(2x＋8)×(76＋4－4x)＝1080，整理得：x2－16x＋55＝0，
解得：x1＝5，x2＝11(不合题意，舍去)．
答：该烘焙店生产的是第五档次的产品………………………………………6分
17.解：列表得
| －7 | －1 | 3 |
－2 | (－7，－2) | (－1，－2) | (3，－2) |
1 | (－7，1) | (－1，1) | (3，1) |
6 | (－7，6) | (－1，6) | (3，6) |
可知，点A共有9种情况………………………………………………………………3分
(2)由(1)知点A的坐标共有9种等可能的情况，点A落在第三象限(事件A)共有(－7，－2)，(－1，－2)两种情况,
∴P(A)＝………………………………………………………………………………6分
18.解：(1)…………………………………………………………………………………3分
(2)用树状图列出所有可能的结果：
∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，
∴所画的四边形是平行四边形的概率P＝＝……………………………………7分
19.证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，AO=DO，BO=CO…………………………………2分
∵点E是AO的中点，点F是OD的中点
∴OE=OF……………………………………………………4分
∵∠EOB=∠FOC
∴△OBE≌△OCF(SAS)……………………………………6分
∴BE＝CF…………………………………………………7分
20.（1）证明：由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线
∴AE=CE，AD=CD
∵CF//AB
∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED
在△AED与△CFD中，
∠EAD=∠FCD，∠AED=∠CFD，AD=CD
∴△AED≌△CFD…………………………………………………3分
（2）证明：∵△AED≌△CFD
∴AE=CF
∵EF为线段AC的垂直平分线
∴EC=EA，FC=FA
∴EC=EA=FC=FA
∴四边形AECF是菱形…………………………………………………6分
（3）解：∵AD=3，AE=5
∴根据勾股定理得：ED=4
∴EF=8，AC=6
∴
∴菱形AECF的面积是24………………………………………………8分
21.解：∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE＝FC，DF＝EC，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，…………………………………3分
∴＝＝＝，
∵AC＝8，BC＝12，
∴AF＝2，DF＝3，…………………………………6分
∴FC＝AC－AF＝8－2＝6，
∴DE＝FC＝6，DF＝EC＝3，
∴四边形DECF的周长是DF＋CF＋CE＋DE＝3＋6＋3＋6＝18.
答：四边形DECF的周长是18…………………………8分
22.解：(1)∵∠ABC＝90°，F是AC的中点，
∴BF＝AC＝AF，
∴∠FAB＝∠FBA，…………………………………………2分
∵AG⊥BE，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ABC＝∠AGB，
∴△ABC∽△BGA…………………………………………4分
(2) ∵AF＝5，
∴AC＝2AF＝10，BF＝5，
∵△ABC∽△BGA，
∴＝，
∴BG＝＝＝，
∴FG＝BG－BF＝－5＝ …………………………………………8分
23.解：(1)∵一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0的一根为2，
∴4＋2p＋q＋1＝0，
∴q＝－2p－5 ……………………………………………………………2分
(2) ∵x2＋px＋q＝0，
∴Δ＝p2－4q＝p2－4(－2p－5)＝(p＋4)2＋4＞0，
∴方程x2＋px＋q＝0有两个不等的实数根………………………………4分
(3) ∵x2＋px＋q＋1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝p2－4(q＋1)＝0，
由(1)可知q＝－2p－5，联立方程组得
解得……………………………………………………………6分
把代入x2＋px＋q＝0，
得x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3…………………………………………………………8分
24.解：(1)∵方程x2-7x+12=0的两个根分别为x=3或4，OA>OB,
∴OB=3,OA=4
∵
∴
∴
∵点E在x轴上
∴点E的坐标为或……………………………3分
证明：在△AOE与△DAO中，
∴
又∵∠AOE=∠OAD=900
∴△AOE∽△DAO……………………………………………7分
（2）如图所示，由题意A（0,4）、B（-3,0）、C（3,0）、D（6,4），
易知AB=AC=5，BC=AD=6
①AC、AF为邻边，点F1在射线AB上时，AF=AC=5.所以点F1与点B重合，即F1（-3,0）
②AC、AF为邻边，点F2在射线BA上时，点M2与点D重合，且F2C垂直平分AM2,即F2（3,8）
③AC是对角线时，作AC的垂直平分线，AC的解析式为：，且其垂直平分线过点，其解析式为，直线AB的解析式为
联立，解得：，∴
④AF是对角线时，求得
综上所述，满足条件的点有4个，F1（-3,0），F2（3,8），，
………………………………………………………………………………………………11分
