人教版2021-2022学年九年级上学期期中数学试题-（三）

这是一份人教版2021-2022学年九年级上学期期中数学试题-（三），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教版2021-2022学年九年级上学期期中数学试题-（三）
一、单选题
1．已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是( )
A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3
2．关于x的方程kx2－4x－2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．k＞2且k≠0 D．且k≠0
3．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（　　）
A．8 B．9 C．8或9 D．12
4．已知mx＝ny，则下列各式中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．某服装原价为300元，连续两次涨价a%后，售价为363元，则a的值为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2018的值是（　　）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝100°，AB的垂直平分线交AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF＝（　　）

A．50° B．40° C．30° D．15°
8．如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知AB=1，BC=3，DE=1.2，则DF的长为（　　）

A． B． C． D．
9．小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；②∠AHB＝∠EHD；③S△BHE＝S△CHD；④AG⊥BE．其中正确的是（ ）

A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题
11．如果x＝3是方程2x2﹣kx+6＝0的根，那么k＝__________．
12．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=24，BD=10，则菱形ABCD的高DE=____.

13．如图，将边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为5时，则为______.

14．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两根的平方和等于__________．
15．在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共个，每个球触颜色外都相同，每次摇匀后随即摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球实验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则可估计这个袋中红球的个数约为__________．
16．若，则＝__________．
17．现要在一个长为40m,宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为864m2,那么小道的宽度应是____m.

18．在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．已知一组正方形的四个顶点恰好落在两坐标轴上，请你观察每个正方形四条边上的整点的个数的变化规律．回答下列问题：

(1)经过x轴上点(5，0)的正方形的四条边上的整点个数是________；
(2)经过x轴上点(n，0)(n为正整数)的正方形的四条边上的整点个数为_____________．

三、解答题
19．解方程
（1）x2+1＝3x
（2）（x﹣2）（x﹣3）＝12
（3）（2x﹣3）2+x（2x﹣3）＝0（因式分解法）
（4）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）．
20．一只不透明的口袋里装有1个红球、1个黄球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同．
（1）从口袋中摸出一个球是白球的概率是　 　．
（2）搅匀从口袋中任意摸出2个球，用画树状图或列表格的方法，求摸出的2个球恰好是1个白球、1个红球的概率．
21．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=，AD=1，求DB的长．

22．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，求a的值．
23．如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD：DA＝3：2，BF＝6，DF＝8，

（1）求EF的长；（2）求EA的长．
24．已知一元二次方程x2﹣2x+m＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2＝3，求m的值．
25．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．

（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，AB＝2，求菱形BCDE的面积．
26．阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值.方法如下：
∵，由，得；
∴代数式的最小值是4.
（1）仿照上述方法求代数式的最小值.
（2）代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.
27．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
28．如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？


参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程定义可得a-3≠0，|a-1|=2，再解即可．
【详解】
由题意得：a-3≠0，|a-1|=2，
解得：a=-1，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．B
【分析】
讨论：当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据判别式的意义得，解得且，然后综合两种情况得到k的取值范围．
【详解】
解：当时，方程变形为，
解得；
当时，，
解得且，
综上所述，k的取值范围是，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
3．B
【分析】
根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
【详解】
解：①当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2−6x＋k＝0的有两个相等实数根，
∴△＝36−4k＝0，
∴k＝9，
此时两腰长为3，
∵2＋3＞3，
∴k＝9满足题意，
②当等腰三角形的腰长为2时，
此时x＝2是方程x2−6x＋k＝0的其中一根，
代入得4−12＋k＝0，
∴k＝8，
∴x2−6x＋8＝0
求出另外一根为：x＝4，
∵2＋2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k＝9，
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质．
4．A
【分析】
根据分式的性质即可依次判断.
【详解】
∵mx=ny，
∴，A错误，
， ，，B,C,D均正确，
故选A.
【点睛】
此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的变形特点.
5．B
【分析】
根据该服装的原价及经过两次涨价后的价格，用字母表示：300（1+a%）2 ，即可得出关于a的一元二次方程：300（1+a%）2＝363，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
依题意，得：300（1+a%）2＝363，
解得：a1＝10，a2＝﹣210（舍去）．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．B
【分析】
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：a2＋a−1＝0，
∴a2＋a＝1，
∴原式＝a3＋a2＋a2＋2018
＝a（a2＋a）＋a2＋2018
＝a＋a2＋2018，
＝1＋2018
＝2019，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用方程的解的定义．
7．C
【分析】
连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF＝∠CDF，根据已知可求得∠CBF的度数，故可得到∠CDF．
【详解】
如图，连接BF，
在△BCF和△DCF中，
∵CD＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF
∴△BCF≌△DCF（SAS）
∴∠CBF＝∠CDF
∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°
∴∠ABF＝∠BAF＝50°
∵∠ABC＝180°−100°＝80°，∠CBF＝80°−50°＝30°
∴∠CDF＝30°．
故选：C．


【点睛】
本题考查角度的求解，解题的关键是熟知全等三角形的判定条件，菱形的性质，垂直平分线的性质．
8．B
【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】
解：，
，即，
，
，
故选．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．A
【分析】
画出树状图，共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，即可得出答案．
【详解】
解：画树状图如图：
共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，
∴小李获胜的概率为；
故选A．

【点睛】
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．
10．B
【分析】
根据正方形的性质证得，推出，可知①正确；证明，再根据对顶角相等即可得到，可知②正确；根据，求出，推出，即，故③正确；利用正方形性质证，求得，推出；求出，求得故④正确．
【详解】
解：四边形是正方形，是边上的中点，
，，，
，
，
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC, ∠ABD=∠CBD，
∵BH=BH，
∴，
，
，
，
故②正确；
，
，
，
即，
故③正确；
四边形是正方形，
，，，
，
，

，
，
，
，
，
故④正确；

故选：．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题关键要充分利用正方形的性质：①四边相等； ②四个内角相等，都是90度； ③对角线相等，相互垂直，且每条对角线平分一组对角．
11．8
【分析】
将x＝3代入方程2x2﹣kx+6＝0，然后解关于k的一元一次方程即可．
【详解】
解：∵x＝3是方程2x2﹣kx+6＝0的根，
∴x＝3满足方程2x2﹣kx+6＝0，
∴2×9−3k＋6＝0，
即24−3k＝0，
解得，k＝8．
故答案是：8．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
12．
【分析】
由菱形的性质求出AO、BO的值，再由勾股定理求出AB的值，然后根据面积法即可求出DE的值.
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=12，BO=5，
∴AB=,
∵,
∴×13×DE=×12×10，
∴DE=.
故答案为.
【点睛】
此题考查了菱形的性质，勾股定理，属于基础题，解答本题的关键是掌握菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
13．1或5
【分析】
设AA′=x，AC与A′B′相交于点E，判断出△AA′E是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得A′E=x，再表示出A′D，然后根据平行四边形的面积公式列方程求解即可．
【详解】
设AA′=x，AC与A′B′相交于点E，
∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴△AA′E是等腰直角三角形，
∴A′E=AA′=x，
A′D=AD-AA′=6-x，
∵两个三角形重叠部分的面积为5，
∴x（6-x）=5，
整理得，x2-6x+5=0，
解得x1=1，x2=5，
即移动的距离AA′等于1或5．
故答案是：1或5．
【点睛】
考查了平移的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记平移的性质并用平移距离表示出重叠部分的底与高是解题的关键．
14．17
【分析】
找出一元二次方程中的a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后把所求的两根的平方和配方变形为两根之和与两根之积的形式，把求出的两根之和与两根之积的值代入即可求出值．
【详解】
解：一元二次方程x2−3x＋2＝0的两根为x1，x2，
∵a＝1，b＝−3，c＝−4，
x1＋x2＝−＝3，x1x2＝=−4
则x12＋x22＝（x1＋x2）2−2x1x2＝32−2×（−4）＝17．
故答案为：17.
【点睛】
此题考查了根与系数的关系，熟练运用两根之和与两根之积的式子是解本题的关键．
15．
【分析】
根据频率的定义先求出黑球的个数，即可知红球个数.
【详解】
解：黑球个数为：，红球个数：.
故答案为6
【点睛】
本题考查了频数和频率，频率是频数与总数之比，掌握频数频率的定义是解题的关键.
16．10
【分析】
根据比例的性质解答即可．
【详解】
解：设＝k，
可得：a＝2k，b＝3k，c＝4k，
把a＝2k，b＝3k，c＝4k代入
＝
故答案为10
【点睛】
此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质设＝k来解答．
17．2
【分析】
根据图形可知剩余的长为(40-2x)m，剩余的宽为(26-x)m，然后根据矩形的面积公式列出方程即可.
【详解】
解：设小道的宽为x米，依题意得
(40-2x)(26-x)=864，
解之得
x1=44（舍去）,x2=2.
故答案为2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为864m2找到正确的等量关系并列出方程.
18．20 4n
【分析】
（1）根据图象得出经过x轴上点（5，0）的正方形是第5个正方形，进而得出正方形的四条边上的整点个数；
（2）根据（1）可得规律．
【详解】
（1）由内到外规律，第1个正方形边上整点个数为4×1=4（个），
第2个正方形边上整点个数为4×2=8（个），第3个正方形边上整点个数为4×3=12（个），
第4个正方形边上整点个数为4×4=16（个）；
∵经过x轴上点（5，0）的正方形是第5个正方形，
∴正方形的四条边上的整点个数是20；
（2）由（1）得出，经过x轴上点(n，0)(n为正整数)的正方形的四条边上的整点个数为4n．
故答案为（1）20；（2）m=4n．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，解决本题的关键是仔细观察，找到规律，按规律运算．
19．（1）x1，x2＝；（2）x1＝6或x2＝﹣1；（3）x1＝，x2＝1；（4）x1＝1+，x2＝1﹣．
【分析】
（1）根据公式法即可求解；
（2）先化简，再根据因式分解法求解；
（3）根据因式分解法求解；
（4）根据配方法即可求解.
【详解】
（1）x2﹣3x+1＝0∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴x＝＝，
即x1，x2＝．
（2）原方程整理为x2﹣5x﹣6＝0，
∵（x﹣6）（x+1）＝0，
∴x﹣6＝0或x+1＝0，
则x1＝6或x2＝﹣1．
（3）（2x﹣3）（2x﹣3+x）＝0，
2x﹣3＝0或2x﹣3+x＝0，
所以x1＝，x2＝1；
（4））x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知的一元二次方程解法.
20．（1）；（2）
【分析】
（1）计算白球数与总球数的比值即可；
（2）列举出所有情况的结果，然后计算两个球是1个白球和一个红球的情况数与总情况数的比值即可.
【详解】
解：（1）从口袋中摸出一个球是白球的概率＝，故答案为：；
（2）画出树状图如图所示，

由树状图可知，共有12种等可能的结果，而摸出的2个球恰好是1个白球、1个红球的有4种结果，所以其概率为．
【点睛】
本题考查了列表法与画树状图法求概率的知识，解本题的关键是用树状图表示出所有可能的结果，注意所求概率等于所求情况数与总情况数之比.
21．BD= 2.
【详解】
试题分析：根据∠ACD=∠ABC，∠A是公共角，得出△ACD∽△ABC，再利用相似三角形的性质得出AB的长，从而求出DB的长．
试题解析：
∵∠ACD=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD ，
∴，
∵AC=，AD=1，
∴，
∴AB=3，
∴BD= AB﹣AD=3﹣1=2 .
点睛：本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AB的长是解题关键．
22．0
【分析】
由两个实数根互为相反数知两根之和等于0，据此列出关于a的方程，解之求出a的值，再检验即可得．
【详解】
∵方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，
∴-a2+2a＝0，
解得a＝0或a＝2．
当a＝2时，方程无实数根，舍去；
故a＝0．
【点睛】
此题考查根与系数的关系，相反数，解题关键在于掌握运算法则.
23．（1）EF＝4；（2）EA＝.
【分析】
（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】
解：（1）∵DF∥AE，
∴＝，即＝，
解得，EF＝4；
（2）∵DF∥AE，
∴＝，即＝，
解得，EA＝．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
24．（1）m≤1；（2）m＝
【分析】
（1）一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则△≥0，把系数代入可求m的范围；
（2）利用两根关系，已知x1+x2＝2结合x1+3x2＝3，先求x1、x2，再求m．
【详解】
解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，
解得m≤1；
（2）由两根关系可知，x1+x2＝2，x1•x2＝m，
解方程组，得，
∴m＝x1•x2＝．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键．
25．（1）见解析；（2）2.
【分析】
（1）根据菱形的判定证明即可；
（2）根据等边三角形的性质菱形的性质和三角函数解答即可．
【详解】
（1）证明：∵E为AD的中点，
∴AD＝2DE＝2AE，
∵AD＝2BC，
∴DE＝BC，
又∵AD∥BC，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵∠ABD＝90°，E为AD中点，
∴在Rt△ABD中，AD＝2BE，
∴BE＝DE，
∴四边形BCDE为菱形；
（2）解：过点BF⊥AD于点F，如图所示：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠DAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝BC，
∴AB＝BC＝BE＝DE＝AE＝2，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝60°，∠BDA＝30°
∴在Rt△ABD中，BD＝AB＝2
∴在Rt△BDF中，BF＝BD＝，
∴菱形BCDE的面积＝DE×BF＝2．

【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．
26．（1）；（2）有最大值，最大值为32.
【分析】
（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】
解：（1）∵，由，
得 ；
∴代数式的最小值是；
（2），
∵，
∴，
∴代数式有最大值，最大值为32.
【点睛】
本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．
27．（1）100+200x；（2）1．
【详解】
试题分析：（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，列式即可得到结论；
（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论．
试题解析：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=100+200x斤；
（2）根据题意得：，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴100+200x≥260，∴x≥0.8，∴x=1．
答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．
考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题；3．综合题．
28．（1）经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；（2）经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．
【解析】
试题解析：

过点作于．则根据题意，得
设秒后，点和点的距离是
，即


经过或点和点的距离是
（2）连接．设经过后的面积为．
①当时，则
即
解得
②当时，
则

解得（舍去）.
③时，
则

解得（舍去）．
综上所述，经过秒或秒的面积为．