人教版2021年七年级数学下册 小专题《二元一次方程组的实际应用》习题(含答案)
展开小专题(三) 二元一次方程组的实际应用
专题1 和、差、倍、分问题
1．(北京中考)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为．
2．(湘潭中考)湘潭盘龙大观园开园啦！其中杜鹃园的门票售价为：成人票每张50元，儿童票每张30元．如果某日杜鹃园售出门票100张，门票收入共4 000元，那么当日售出成人票50张．
3．有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的2倍．”乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了．”两个牧童各有多少只羊？
解：设两个牧童分别有x只羊，y只羊．根据题意，得
解得
答：两个牧童各有7只、5只羊．
4．(济南中考)学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40 kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：
(1)请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？
(2)这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？
解：(1)设采摘黄瓜x千克，茄子y千克．根据题意，得解得
答：采摘的黄瓜和茄子各30千克、10千克．
(2)30×(1.5－1)＋10×(2－1.2)＝23(元)．
答：这些采摘的黄瓜和茄子可赚23元．
5．2016年某市“奥博园丁杯”篮球赛前四强积分榜如下：
队名 | 比赛场次 | 胜 | 负 | 积分 |
坏小子 | 7 | 7 | 0 | 14 |
后街男孩 | 7 | 6 | 1 | 13 |
极速 | 7 | 5 | 2 | 12 |
小小牛 | 7 | 4 | 3 | 11 |
注：平局后出现加时赛，一定比出胜负．问：
(1)某队的负场总积分能等于它的胜场总积分的2倍吗？
(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的5倍吗？
解：(1)从表中可知胜一场得2分，负一场得1分．
设一个队胜的场次为x场，负的场次为y场，由题意，得
解得
因为胜的场次不可能为分数，所以某队的负场总积分不能等于它的胜场总积分的2倍．
(2)设一个队胜的场次为a场，负的场次为b场，由题意得
解得
答：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的5倍．
专题2 按比例分配、原料的混合与配套问题
1．(曲靖中考)某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件1 000个或者加工B部件600个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？
解：设安排生产A部件和B部件的工人分别为x人，y人．根据题意，得
解得
答：安排生产A部件和B部件的工人分别为6人，10人．
2．把浓度分别为90%和60%的甲、乙两种酒精溶液，配制成浓度是75%消毒酒精溶液500克，求甲、乙两种酒精溶液各多少克？
解：设甲种酒精溶液x克，乙种酒精y克，可得方程组
解得
答：甲种酒精溶液250克，乙种酒精250克．
3．为迎接新年，某工艺厂准备生产A、B两种礼盒．这两种礼盒主要用甲、乙两种原料，已知生产一套A礼盒需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒；生产一套B礼盒需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20 000盒和30 000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产A、B两种礼盒各多少套？
解：设生产A礼盒x套，生产B礼盒y套，则
解得
答：该厂能生产A礼盒2 000套，B礼盒2 400套．
4．在“某地大地震”灾民安置工作中，某企业捐助了一批板材24 000 m2，某灾民安置点用该企业捐助的这批板材全部搭建成A，B两种型号的板房，供2 300名灾民临时居住．已知建一间A型板房和一间B型板房所需板材及能安置的人数如下表所示：
板房型号 | 所需板材 | 安置人数 |
A型板房 | 54 m2 | 5 |
B型板房 | 78 m2 | 8 |
问：该灾民安置点搭建A型板房和B型板房各多少间？
解：设该灾民安置点搭建A型板房x间，B型板房y间．由题意得，
解得
答：该灾民安置点搭建A型板房300间，B型板房100间．
5．已知甲、乙两种食物的维生素A、B的含量如下表：
维生素类型 | 甲 | 乙 |
维生素A(单位/千克) | 600 | 700 |
维生素B(单位/千克) | 800 | 400 |
现有50万单位的维生素A和40万单位的维生素B，请你算一算，能制成甲、乙两种食物各多少千克？
解：设能制成甲、乙两种食物分别为x千克和y千克．则
解得
答：制成甲、乙两种食物分别为250千克和500千克．
专题3 行程问题与顺逆流(风)问题
1．甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用4小时，求船在静水中的航速及水流速度．
解：船在静水中的速度是x千米/时，水流速度为y千米/时，则
解得
答：船在静水中的速度是17.5千米/时，水流速度为2.5千米/时．
2．甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑．如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过250秒甲第一次追上乙．求甲、乙两人的平均速度．
解：甲、乙每秒分别跑x米，y米，则根据题意，得
解得
答：甲、乙每秒分别跑8.8米、7.2米．
3．(张家界中考)小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，则他从家里到学校需10 min，从学校到家里需15 min.问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？
解：设平路有x m，下坡路有y m，则
解得
答：小华家到学校的平路和下坡路各为300 m，400 m.
4．A、B两地相距176 km，其间一处因山体滑坡导致连接这两地的公路受阻．甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上8时，分别从A，B两地同时出发赶往滑坡点疏通公路.10时，甲队赶到，半小时后乙队赶到．若滑坡受损公路长1 km，甲队行进的速度是乙队的倍多5 km，求甲、乙两队赶路的速度．
解：设甲队的速度为x千米/时，则乙队为y千米/时．由题意得
解得
答：甲队赶路的速度为50 km/h，乙队赶路的速度为30 km/h.
5．一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 km/h，在高速公路上行驶的速度为100 km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2 h．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程．
解：答案不唯一，问题：普通公路和高速公路各为多少千米？解：设普通公路长为x km，高速公路长为y km.根据题意，得
解得
答：普通公路长为60 km，高速公路长为120 km.
问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？解：设汽车在普通公路上行驶了x h，高速公路上行驶了y h．根据题意，得
解得
答：汽车在普通公路上行驶了1 h，高速公路上行驶了1.2 h.
专题4 几何问题
1．(广元中考)一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°，若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为(D)
A.
B.
C.
D.
2．(漳州中考)如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程正确的是(B)
A. B.
C. D.
3．如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个拼成的长方形的长为30，宽为20，则图2中Ⅱ部分的面积是100.
4．(吉林中考)根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度．
解：设梅花鹿现在的高度为x m，长颈鹿现在的高度为y m．根据题意，得
解得
答：梅花鹿现在的高度为1.5 m，长颈鹿现在的高度为5.5 m.
5．(凉山中考)根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm；
(2)如果要使水面上升到50 cm，应放入大球、小球各多少个？
解：设应放入x个大球，y个小球．由题意得
解得
答：应放入4个大球，6个小球．
6．一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米，谁的设计符合实际，按照他的设计，鸡场的面积多大？
解：根据小王的设计可以设垂直于墙的一边长为x米，平行于墙的一边长为y米．根据题意得
解得
又因为墙的长度只有14米，所以小王的设计不符合实际．
根据小赵的设计可以设垂直于墙的一边长为a米，平行于墙的一边长为b米．根据题意得
解得
又因为墙的长度有14米，显然小赵的设计符合要求．
此时鸡场的面积为11×13＝143(平方米)．
答：小赵的设计符合实际，按照他的设计，鸡场的面积为143平方米．
