【数学】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高二上学期开学考试试题
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高二上学期开学考试试题
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 下列结论正确的是 （ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
3. 我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？“则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金 （ ）
A．多斤 B．少斤 C．多斤 D．少斤
4. 若直线,互相平行,则实数的值为（ ）
A． B．6 C． D．
5. 若变量满足约束条件， （ ）
A． B． C． D．
6. 某公司10位员工的月工资（单位：元）为，其均值和方差分别为 和，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
7. 已知 x 与 y 之间的一组数据：
x | 0 | 1 | 3 | 4 |
y | 2.2 | 4.3 | 4.8 | 6.7 |
则 y 与 x 的线性回归方程为，则 的值为（ ）
A．0.325 B．0 C．2.2 D．2.6
8. 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（ ）
A．B．C．D．
9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，分别为32，24，则输出的值是( )
A．0 B．4 C．8 D．12
10. 宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ）
A． B． C． D．
11. 蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球。因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球。2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点，满足，则该鞠的表面积为（ ）
A． B. C． D．
12.大庆实验中学开展做数学题猜WiFi密码益智活动，已知数列的通项，，数列的通项，，现将数列和中所有的项混在一起，按照从小到大的顺序排成数列，若满足成立的的最小值为，若大庆实验中学WiFi密码为计算结果小数点的后8位，则大庆实验中学的WiFi的密码为（ ）
A． B.
C． D．
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 执行图中所示程序框图，若输入，则输出结果为_______.
14. 现有红球个白球350个，用分层抽样方法从中随机抽取120个小球，其中抽出的红球有50个．则__________．
15．在中，内角的对边分别为，边上的高为，则的最大值为
16. 在正方体中，点是平面内一动点，满足，设直线与平面所成角的为，则的最大值为
三．解答题（17题为10分，其它试题为12分）
17. 在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，且.
（1）求角； （2）若，求.
18. 一微商店对某种产品每天的销售量（件）进行为期一个月的数据统计分析，并得出了该月销售量的直方图（一个月按30天计算）如图所示.假设用直方图中所得的频率来估计相应事件发生的概率.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求日销量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）若该商店为进一步调查销售情况，现从日销售量为25件至35件的几天中，随机抽取两天进行调研，则这两天的销售量均不小于30件的概率为多少？
19. 已知等比数列满足，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20. 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．
（1）求线段的中点的轨迹的方程；
（2）若直线与曲线相交于两点，当面积最大时，求此时直线的方程．
21. 如图，四棱锥的底面是菱形，，平面，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面成角的正弦值。.
22. 某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加、根据相关资料可知该种工程车自购入使用之日起，前5年中每年的维修费用如下表所示：
年份序号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
维修费用y（万元） | 1.1 | 1.6 | 2 | 2.5 | 2.8 |
（1）根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程.
（2）根据实际用车情况，若某辆工程车每年维修费用超过4万元时，可以申请报备更换新车，请根据回归方程预估一辆工程车一般使用几年后可以申请报备更换新车.
参考公式：，.
【参考答案】
1---5 C C A B B
6---10 D D A C C
11—12 AB
13. 14. 250 15. 16.
17. （1）；（2）
（1）因为，
所以，
解得，
又，故..….….….….….….….….….….….…5分
（2）设
则
所以...….….….….….….….….….….….…10分
18. （1）22.5（2）（3）4天，2天（3）
（1）由题意可得
根据已知的频率分布直方图，日销售量的平均值为
..….…. 3分
（2）由题意可知
第四组与第五组的频率分别为0.2和0.1
即第四组和第五组分别有6天和3天
按照分层抽样的方法可知，应从第四组抽取4天，从第五组抽取2天..….…. 6分
（3）分别记第四组抽取的4天为 ,第五组抽取的2天为
则从这6天抽取2天的基本事件为
共有15种情况
即记“至少有一天在第5组”为事件A,则 ..….…. .….….…12分
19. （1）；（2）
（1）设等比数列的公比为（不为0），
因为，，成等差数列，
所以，
因为，所以，
解得或（舍去）；所以，
所以数列的通项公式为；.….….….….….….….….….….….….….…6分
（2）设，
.….….….….…12分
20. （1）；（2）
由题可得，，
，，
所以，，，
所以y关于x的线性回归方程为..….….….….….….….…8分
(2) 当 时， .….….….….….….….….….….….….….….….…12分
21. （1）如图，连接，∵底面是菱形，，
∴是正三角形.
∵为的中点，∴.①
又∵平面，平面，∴②
又∵，③
由①②③知：平面..….….….….….….….….….….….….….….…4分
（2）
平面
即 是所求的角
.….….….….….….….….….….….….….….….….…12分
22.(1) （2）
解（1）由题意可知，圆心到直线的距离小于半径
故 即
所以 的取值范围为.….….….….….….….….….….…4分
（2）（方法不唯一）设，则
∵ 点为弦中点即，
∴即，
∴ 线段的中点的轨迹的方程为
；.….….….….….…12分
