黑龙江省大庆实验中学2021届高三上学期开学考试 文科数学（含答案）

大庆实验中学2021届高三数学（文）上学期开学考试试题

一、单选题

1．已知集合，．则（）

A．[0，1]B．（1．2] C．D．

2．函数的零点所在区间为( )

A．B． C．D．

3．设函数在处存在导数为2，则（    ）.

A．B．6C．D．

4．已知命题，命题，则是成立的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 

D．既不充分也不必要条件

5．执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（）

A.2B.3C.4D．5

6．在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（    ）

A．B．C．D．

7．下列说法正确的个数有（  ）

①用刻画回归效果，当越大时，模型的拟合效果越差；反之，则越好；

②命题“，”的否定是“，”；

③若回归直线的斜率估计值是，样本点的中心为，则回归直线方程是；

④综合法证明数学问题是“由因索果”，分析法证明数学问题是“执果索因”。

A．1个B．2个 C．3个D．4个

8．已知，，下列不等式成立的是（）

A．B．

C． D．

9．函数的图象大致是（）

A．B．

C．D．

10．已知在区间内任取两个不相等的实数，不等式恒成立,则实数的取值范围为   （ ）

A．B．C．D．

11．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则，，的大小关系为（）

A． B． 

C． D．

12．已知定义在上的函数满足，且当时，，函数，实数满足.若,使得成立,则的最大值为（   ）

A．B．C．D．

二、填空题

13．若复数满足（是虚数单位），则的虚部是______.

14．已知函数，则________．

15．通过市场调查知某商品每件的市场价(单位:元)与上市时间(单位:天)的数据如下:

根据上表数据,当时,下列函数:①;②;③中能恰当的描述该商品的市场价与上市时间的变化关系的是(只需写出序号即可)______.

16．已知定义域为的偶函数的导函数为，对任意，均满足：.若，则不等式的解集是__________．

三、解答题（17—22为解答题，请写出必要的语言叙述；17题10分，18—22每题12分)

17．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.

18．设曲线在点处取得极值.

（1）求的值；

（2）求函数的单调区间和极值.

19．共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：

频率分布表

（1）求的值；

（2）若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来自第5组的概率.

20．为了调查某高中学生每天的睡眠时间，现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查，结果如下：女生：

男生：

（1）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率；

（2）完成下面2x2列联表，并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？

（，其中n=a+b+c+d）

21．如图，设是椭圆的左焦点，分别为左、右顶点，，离心率，过点作直线与椭圆相交于不同的两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求面积的最大值.

22．已知函数，（e为自然对数的底）.

（1）讨论的极值；

（2）当时，

（i）求证：当时，；

（ii）若存在，使得，求实数m取值范围.

大庆实验中学2020-2021学年度上学期开学考试

高三上数学（文)答案

一、选填每题5分，满分80分

1-5．CCABC6-10．ACDBD11-12．DB

13．2

14． 6.

15．②

16．

17．满分10分

试题解析： （1）的普通方程为，--------2分

---------1分

所以的直角坐标方程为.------2分

（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，

所以的最小值即为到的距离的最小值，-------1分

.--------2分

当且仅当时，取得最小值，最小值为，------1分

此时的直角坐标为.-----1分

18．满分12分

解（1）因为，故可得，------1分

又因为，故可得，解得.---------2分

经检验，a=2符合题意。---------2分

（2）由（1）可知，

，

令，解得，-------1分

又因为函数定义域为，

故可得的单调递减区间为，，单调递增区间为.-------2分

故的极大值为；的极小值为.------2分

19．满分12分

解：（1）由频率分布表可得-------1分

内的频数为,

∴----------1分

∴内的频率为

∴----------------------2分

∵内的频率为0.04

∴---------------------2分

（2）由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,

设第4组的4人分别为、、、；第5组的2人分别为、------------1分

从中任取2人的所有基本事件为：,,,,,,,,,,,,,,共15个.-------------2分

至少一人来自第5组的基本事件有：,,,,,,,共9个.------------1分

所以.---------1分

∴所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为.---------1分

20．满分12分解：

（1）选取的20名女生中，“睡眠严重不足”的有2人，设为A，B，睡眠时间在[5,6）的有4人，设为a，b，c，d，-------1分

从中选取3人的情况有ABa， ABb， ABc， ABd， Aab，Aac,Aad, Abc, Abd, Acd,Bab, Bac, Bad, Bbc, Bbd, Bcd, abc, abd, acd, bcd,,共20种，---------2分

其中恰有1人“睡眠严重不足”的有12种，---------1分

因此有3人中且有一个为“严重睡眠不足”的概率为---------2分

（2）

-----------------2分

,----------3分

所以没有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”．--------1分

21．满分12分

解

（1）因为，，

所以，，

所以，

故的标准方程为.-------------4分

（2）设，，

显然直线的斜率不为，设直线的方程为，

联立可得，

由，

解得或，

且，，-----------2分

.------1分

又点到直线的距离，--------1分

所以

，------------2分

当且仅当，即时取等号，--------1分

所以面积的最大值为.---------1分

22．满分12分

解：（1）依题，，--------------1分

------------2分

列表分析可知，，无极大值.----------1分

（2）（i）证明：当，欲证，

即证，即证，

即证.-------------------------------------------2分

构造函数：，则有，

说明在单调递减，

于是得到.-------2分

（ii）解：对于，可得.

因此，当时，单调递减；

当时，单调递增.

（1）当时，.

依题意可知.

构造函数：，

则有.

由此可得：当时，；

当时，，

即在时，单调递减，单调递增.

注意到：，，因此.

同时注意到，故有.

（2）当时，.

依据题意可知

.

综上（1）、（2）所述，所求实数m取值范围为.--------------4分