【数学】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年高二寒假开学检测（文）
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高二寒假开学检测（文）
一、选择题（每题5分）
1．若复数，其中为虚数单位，则共轭复数（ ）．
A. B. C. D.
2.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．16
3．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶 C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
4． 把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ）
A．40（8） B．45（8） C．50（8） D．55（8）
5．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量之间关系最强的是（ ）
A. B.
C. D.
6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“ 李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为 （ ）
A. B. C. D.
7.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
A.08 B.07 C.02 D.01
8．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A． B． C． D．
9.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x＋2y－3＝0，则该双曲线的离心率为（ ）
A.5或 B.或 C. 或 D.5或
11. 甲乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是多少（ ）．
A． B． C． D．
12. 如图，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于
点A、B、C、D，则的值是（ ）
A. 8 B. C. 2 D. 1
二、填空题（每题5分）
13. 在半径为的圆内任取一点,则点到圆心的距离大于的概率为 .
14．已知x、y的取值如下表所示：
x | 0 | 1 | 3 | 4 |
y | 2.2 | 4.3 | 4.8 | 6.7 |
若从散点图分析，y与x线性相关，且，则的值等于
15.利用随机模拟方法计算和所围成图形的面积．首先利用计算机产生两 组~区间的均匀随机数，，，然后进行平移和伸缩变换，
，若共产生了个样本点，其中落在所围成图形内的样本点数为，
则所围成图形的面积可估计为 ．（结果用，表示）
16.已知圆,直线,若在直线上任取一点作圆的切线,切点分别为,则的长度取最小值时,直线的方程为
三、解答题（共70分）
17、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）试判断曲线与是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．
18、下图是根据某行业网站统计的某一年1月到12月（共12个月）的山地自行车销售量（1k代表1000辆）折线图，其中横轴代表月份，纵轴代表销售量，由折线图提供的数据回答下列问题：
（Ⅰ）在一年中随机取一个月的销售量，估计销售 量不足200k的概率；
（Ⅱ）在一年中随机取连续两个月的销售量，估计这连续两个月销售量递增（如2月到3
月递增）的概率；
（Ⅲ）根据折线图，估计年平均销售量在哪两条相邻水平平行线线之间（只写出结果，不要过程）.
19、去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估.将各连锁店的评估分数按[60,70), [70,80), [80,90), [90,100),分成四组，其频率分布直方图如下图所示，集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为A,B,C,D四个等级，等级评定标准如下表所示.
评估得分 | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100) |
评定等级 | D | C | B | A |
（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；
（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A等级的概率.
20、在直角坐标系中，直线（为参数），以原点 为极点，轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）点，直线与曲线交于，求的值．
21、某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
| 超过 | 不超过 |
第一种生产方式 |
|
|
第二种生产方式 |
|
|
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，
22、已知为椭圆的右焦点，，分别为椭圆的上下顶点，且为等边三角形．
求：（1）求椭圆的方程；
（2）过点的两条互相垂直的直线与椭圆分别交于异于点的点，
求证：直线过定点，并求出该定点坐标．
参考答案
1-12、BDCDD ADABB BD
13、 14、 2.6 15、 16、
17、（1）对于曲线有，对于曲线有． 5分
（2）显然曲线：为直线，则其参数方程可写为（为参数）与曲线：联立，可知，所以与存在两个交点，
由，，得． 10分
18、解：（Ⅰ）设销售量不足200k为事件A，
这一年共有12个月，
其中1月，2月，6月，11月共4个的销售量不足200k，
所以．
（Ⅱ）设连续两个月销售量递增为事件B，
在这一年中随机取连续两个月的销售量，有1，2月；2，3月；3，4月；4，5月；5，6月；6，7月；7，8月；8，9月；9，10月；10，11月；
11，12月共11种取法，
其中2，3月，3，4月；4，5月； 6，7月；7，8月；8，9月；
11，12月共7种情况的销售量递增，
所以． ……………10分
（Ⅲ）在200k~250k这两条水平线之间
19、（1）估计评估得分的众数为75分．
估计该商业集团各连锁店评估得分平均数为：75.4
- 等级的频数为：，记这两家分别为等级的频数为：，记这四家分别为：从这6家连锁店中任选2家，
共有，
，，共15种选法．记事件{至少选一家等级}则事件包含：，共9种．∴
- （1）第二种生产方式的效率更高；
(2)m=80
| 超过 | 不超过 |
第一种生产方式 | 15 | 5 |
第二种生产方式 | 5 | 15 |
的观测值
有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异
22、
| 超过 | 不超过 |
第一种生产方式 |
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第二种生产方式 |
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| 超过 | 不超过 |
第一种生产方式 |
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第二种生产方式 |
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| 超过 | 不超过 |
第一种生产方式 |
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第二种生产方式 |
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