2021-2022学年山东省莱阳市第一中学高二下学期开学摸底检测数学试题含答案

莱阳市第一中学2021-2022学年高二下学期开学摸底检测

数学试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. (x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是（    ）

A.  B.

C.  D. (－1)m－1

2. 已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是

A. y＝±x B. y＝±x

C. y＝±x D. y＝±x

3. 已知圆O的半径为5，，过点P的2021条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，则其公差为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 从抛物线在第一象限内的一点引抛物线准线的垂线，垂足为，从且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为　　

A  B.  C.  D.

5. 设为等比数列的前项和，且，则等于（    ）

A.  B.  C. 5 D. 11

6. 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（    ）

A. （34，34） B. （43，34） C. （34，43） D. （A43，A43）

7. 已知分别为双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为

A.  B.  C. 2 D.

8. 若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 已知双曲线离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有

A. 渐近线方程为 B. 渐近线方程为

C.  D.

11. 某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记A为“男生甲被选中”，为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

12. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 在三角形中，，，，双曲线以A、B为焦点，且经过点C，则该双曲线的离心率为________.

14. 将数列按“第n组有n个数”的规则分组如下：，，，…，则第100组中的第一个数是______.

15. 若，则______.

16. 已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于__________.

四、解答题（本题共6小题，共70分）

17. 已知数列为等差数列，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若等比数列满足，求数列的通项公式．

18. 由整数构成的等差数列满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列的通项公式为，将数列，的所有项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时、放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列，，，，，，，，，……，求数列的前项和.

19. 已知数列的前n项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，为数列前n项和，求数列的前n项和.

20. 已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等．

求n的值；

求展开式中所有二项式系数和；

求展开式中所有的有理项．

21. 已知椭圆：的离心率为，且经过点，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作直线与椭圆相较于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

22. 已知动点(其中)到定点的距离比点到轴的距离大1.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过椭圆右顶点作直线交曲线于､两点，其中为坐标原点

①求证：；

②设､分别与椭圆相交于点､，证明：原点到直线的距离为定值.

答案

1-8 DDBCA  CAD  9.AC  10.BC  11.ABD  12.ACD

13【答案】

14【答案】

15【答案】4

16【答案】6

17【答案】（1）；（2）

18【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

19【答案】（1）；（2）

20. 二项式展开式的通项公式为

（r=0，1，2，…，n）；

（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得 ，即 解得n=5；

（2）展开式中所有二项式系数的和为

（3）二项式展开式的通项公式为（r=0，1，2，…，5）；

当r=0，2，4时，对应项是有理项，

所以展开式中所有的有理项为

．

21【答案】（1）；（2）存在，使得两条不同直线，恰好关于轴

对称.

22【详解】（1）设由题意，

两边平方，整理得：

所以所求点的轨迹方程为.

（2）①设过椭圆右顶点的直线的方程为.

代入抛物线方程，得.

设､，则

∴.

∴.

②设､，直线的方程为，

代入，得.

于是，.

从而

∵，∴.

代入，整理得.

∴原点到直线的距离为定值.