【数学】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年高二寒假开学检测（理）

黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年

高二寒假开学检测（理）

第Ⅰ卷（选择题）    

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项符合题意的）

1、复数的共轭复数是（     ）

A.            B.         C.          D.

2、总体由编号为的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（     ）

A．05               B．09              C．07              D．20

3、已知抛物线，则它的焦点到准线的距离为(     ).

A. 4              B. 8       C.16           D. 2

4、如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（     ） 

1.       11                 B. 10                  C. 9               D. 8

5、已知变量 之间满足线性相关关系 ，且 之间的相关数据如下表所示： 

则 （     ）

11.                 B.                  C.             D.

6、我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（modm），例如10≡2（mod4）．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的n等于（      ） 

A. 13      B. 11        C. 15       D. 8

7、某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查.现将2400名学生随机地从1～2400编号，按编号顺序平均分成30组（1～80号，81～160号，…，2321～2400号），若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码是（    ）

A．416             B．432                C．448              D．464

8、广东省2018年新高考方案公布，实行“3+1+2”模式，即“3”是指语文、数学、外语必考，“1”是指物理、历史两科中选考一门，“2”是指生物、化学、地理、政治四科中选考两门，在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为(     )

A．               B．                C．               D．

9、在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（     ）

1.               B.                C.               D. 

10、以下命题正确的个数为（     ）

①已知是关于的方程的一个根，则实数

②分别是四面体的棱的中点，是线段的靠近点的三等分点，则

③如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是双曲线。

④若集合，则集合的不同子集个数为64个。

⑤某小组有3名男生和2名女生，从中任选 2名学生参加演讲比赛，则恰有1名男生和恰有2名男生为对立事件。

1.  1个                B.  2个             C.  3个             D.  4个

11、《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（     ）

A．288种              B．144种            C．720种           D．360种

12、已知椭圆的右焦点为，且离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为点，且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0，为坐标原点，若直线的斜率之和为1，则的值为（     ）

A.                 B.               C.                D.  

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）

13、已知三个数12(16) ，25(7) ，33(4) ，则将它们按由小到大的顺序排列为________．   

14、用数字组成没有重复数字的四位偶数有     个。

15、甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为      

16、已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若则该双曲线的离

心率为__________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17、（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（2）求曲线上的点到的距离的最大值.

18、某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从2016级的年龄在18～19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名，测量他们的身高，量出的身高如下(单位：cm)：

南方：158，170，166，169，180，175，171，176， 162，163.

北方：183，173，169，163，179，171，157，175，184，166.

（1）根据抽测结果，画出茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出统计结论．
（2）设抽测的10名南方大学生的平均身高为169 cm，将10名南方大学生的身高依次输入如图所示的 程序框图进行运算，问输出的s大小为多少？并说明s的统计学意义。   

19、某高校数学与统计学院为了对2018年录取的大一新生有针对性地进行教学.从大一新生中随机抽取40名，对他们在2018年高考的数学成绩进行调查，统计发现40名新生的数学分数分布在内.当时，其频率.

（1）求的值；

（2）请在答题卡中画出这40名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数；

（3）从成绩在100～120分的学生中，用分层抽样的方法从中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选两人甲、乙，记甲、乙的成绩分别为，求概率．

20、在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，为的中点，为的中点。

（1）求证：∥平面；

（2）求二面角的余弦值。

21、近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2017年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图1．
  
              图1                                              图2
附注：①对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为， ；
②参考数据： ．   

（1）记“在年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在 ”为事件，试估计的概率；   

（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图2，其中(单位：年)表示二手车的使用时间， (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格．由散点图看出，可采用 作为二手车平均交易价格关于其使用年限的回归方程，相关数据如下（其中 ，）：

根据回归方程类型及表中数据，建立关于的回归方程。

22、设椭圆的离心率为，左顶点到直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于两点，若以为直径的圆经过坐标原点，试探究：点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，试求面积的最小值．

参考答案

17、（1）           （2）

18、【答案】（1）解：由题意画出茎叶图如图所示．

统计结论(给出下述四个结论供参考)：

①北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高；

②南方大学生的身高比北方大学生的身高更整齐；

③南方大学生的身高的中位数为169.5 cm，北方大学生的身高的中位数是172 cm；

④南方大学生的身高基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，北方大学生的身高分布较为分散

（2）解：由程序框图可得s表示10位南方大学生身高的方差．

由题意得10位南方大学生身高的平均数169，

故方差为 ．

s是描述身高的离散程度的量，它的统计学意义是：s的值越小，表示身高越整齐，s的值越大，表示身高越参差不齐

19、（1）由题意知，n的取值为10，11，12，13，14．把n的取值分别代入，

可得（0.5﹣10a）+（0.55﹣10a）+（0.6﹣10a）+（0.65﹣10a）+

（0.7﹣10a）＝1．解得a＝0.04．

（2）频率分布直方图如图：

这40名新生的高考数学分数的平均数为

105×0.10+115×0.15+125×0.20+135×0.25+145×0.30＝130．

（3）这40名新生的高考数学分数在[100，110）的频率为0.1，

分数在[110，120）的频率为0.15，频率比0.1：0.15＝2：3．

按分层抽样的方法从成绩在100～120分的学生中，抽取[100，110）内2人，[110，120）内3人，

记[100，110）内2人为A,B，[110，120）内3人，为a,b,c．

从5名学生中随机抽取2名学生的基本事件为AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb,Bc,ab,ac,bc，共10个，

甲、乙的成绩分别为，满足的有：Aa，Ab，Ac，Ba，Bb,Bc，共6个.

所以

20、（1）略  （2）

21、（1）解:由频率分布直方图得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在 的频率为 ，在 的频率为  

所以

（2）解:由 得 ，即 关于 的线性回归方程为 ．
因为 ，
所以 关于 的线性回归方程为

，
即 关于 的回归方程为  

22、（1）由已知，

因为故所求椭圆的方程为;

（Ⅱ）法一：设，，

①当直线l的斜率不存在时，由椭圆对称性知，，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即

又因为点在椭圆上，故，解得，此时点O到直线AB的距离为

②当直线l的斜率存在时，设其方程为．

联立得：所以，

由已知，以AB为直径的圆经过坐标原点O，则，

且

故，化简得，

故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值

法二：（若设直线方程为，也要对直线斜率为0进行讨论）设，

①当直线l的斜率为0时，由椭圆对称性知x1=-x2，y1=y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即

又因为点在椭圆上，故，解得，此时点O到直线AB的距离为

②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为．

联立得：所以，

故，

即,所以,

所以,化简得，故点O到直线AB的距离为

综上，点O到直线AB的距离为定值

（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1;

当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，

则直线OB的斜率为，由得，

同理故

令，则，故综上，△AOB面积S的最小值为．

法二：由（Ⅱ），①当直线l的斜率不存在时，，

②当直线l的斜率存在时，，且点O到直线AB的距离为，

故，

令，则，

因为，故．综上，△AOB面积S的最小值为．