【数学】安徽省定远重点中学2018-2019学年高二下学期开学考试（理）

安徽省定远重点中学2018-2019学年

高二下学期开学考试（理）

一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)                                             

1.在△ABC中，若p：A＝60°，q：sinA＝，则p是q的(　　)

A． 充分不必要条件

B． 必要不充分条件

C． 充要条件

D． 既不充分也不必要条件

2.已知p：x2－2x－3＜0；q：＜1，若p且q为真，则x的取值范围是(　　)

A． (－1,2)             B． (－1,3)                 

C． (3，＋∞)           D． (－∞，2)

3.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A, 2x∈B，则(　　)

A．p：∀x∈A,2xB

B．p：∀xA,2xB

C．p：∃x0A,2x0∈B

D．p：∃x0∈A,2x0B

4.已知两点A(，0)，B(－，0)，点P为平面内一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，且·＝22，则动点P的轨迹方程为(　　)

A．x2＋y2＝2              B．y2－x2＝2                 

C．x2－2y2＝1             D． 2x2－y2＝1

5.设P是椭圆＋＝1上一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F1PF2的最小值是(　　)

A．              B．                       

C．－            D．－

6.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)

A．                  B．                        

C． 2                 D．

7.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(　　)

A． 2－1           B． 2－2                

C．－1            D．－2

8.已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为(　　)

A．                   B． －                     

C．                   D． －

9.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是(　　)

A． 45°                B． 60°                

C． 90°                D． 120°

10.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)

A． 150°              B． 45°                 

C． 60°               D． 120°

11. 已知函数f(x)在x0处的导数为1，则等于(　　)

A． 2                B． －2                  

C． 1                D． －1

12. 如图，函数的图象在P点处的切线方程是y＝－x＋8，若点P的横坐标是5，则f(5)＋f′(5)等于(　　)

A．                    B． 1                          

C． 2                   D． 0

二、填空题(共4小题,共20分)                                                                         

13.已知p：a－4＜x＜a＋4；q：(x－2)(3－x)＞0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________．

14.过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________．

15.已知函数f(x)＝lnx－ax＋1在[，e]内有零点，则a的取值范围为________．

16.如图，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为.点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1：x＋y＋3＝0相切，则椭圆的方程为________．

三、解答题(共6小题 ,共70分)                                                                         

17.（10分）已知命题p：∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0成立，命题q：∃x0∈R，－2ax0－3＞0不成立，若p假且q真，求实数a的取值范围．

18. （12分）求满足下列各条件的椭圆的标准方程．

(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；

(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.

19. （12分）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．

(1)求双曲线的方程；

(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．

20. （12分）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2，点E为AB的中点．

(1)求证：BD1∥平面A1DE；

(2)求证：D1E⊥A1D；

(3)在线段AB上是否存在点M，使二面角D1－MC－D的大小为？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

21. （12分）已知函数f(x)＝(ax－x2)ex.

(1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间；

(2)若函数f(x)在(－1,1]上单调递增，求a的取值范围；

(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，说明理由．

22. （12分）已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.

(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；

(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程y＝g(x)．

参考答案

1.A

2.A

3.D

4.B

5.D

6.B

7.C

8.A

9.B

10.C

11. A

12. C

13.[－1,6]

14.(1，e)

15.[0,1]

16.＋＝1

17. 解　由于命题p：∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0是假命题，

所以命题p：∃x0∈R，＋(a－1)x0＋1＜0是真命题，得Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，

∴a－1＜－2或a－1＞2，∴a＜－1或a＞3.

由于命题q：∃x0∈R，－2ax0－3＞0不成立，

所以命题q：∀x∈R，ax2－2ax－3≤0成立，

当a＝0时，－3＜0成立；

当a＜0时，Δ＝(－2a)2＋12a≤0，即a2＋3a≤0，解得－3≤a＜0，∴－3≤a≤0.

综上所述，实数a的取值范围是{a|－3≤a＜－1}．

18. 解　(1)若椭圆的焦点在x轴上，

设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

∵椭圆过点A(2,0)，∴＝1，a＝2，

∵2a＝2·2b，∴b＝1，∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.

若椭圆的焦点在y轴上，

设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆过点A(2,0)，∴＋＝1，

∴b＝2,2a＝2·2b，∴a＝4，∴椭圆的标准方程为＋＝1.

综上所述，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.

(2)由已知得∴从而b2＝9，

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

19. 解　(1)依题意，b＝，＝2⇒a＝1，c＝2，∴双曲线的方程为x2－＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由(1)知F2(2,0)．易验证当直线l斜率不存在时不满足题意．

故可设直线l：y＝k (x－2)，由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，

当k≠±时，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，

△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝12|k|·＝6，

得k4＋8k2－9＝0，则k＝±1.

所以直线l方程为y＝x－2或y＝－x＋2.

20.(1)证明　由题意可得D1D⊥平面ABCD，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，

则D(0,0,0)，C(0,2,0)，

A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，B(1,2,0)，E(1,1，0)．

＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，

设平面A1DE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则得

取x1＝1，则n1＝(1，－1，－1)是平面A1DE的一个法向量，又＝(－1，－2,1)，且·n1＝(－1，－2,1)·(1，－1，－1)＝0，故⊥n1，又BD1不在平面A1DE内，故BD1∥平面A1DE.

(2)证明　由题意得＝(1,1，－1)，

＝(－1,0，－1)，

·＝(1,1，－1)·(－1,0，－1)＝0，

⊥，故D1E⊥A1D.

(3)解　线段AB上存在点M，使二面角D1－MC－D的大小为.

设M(1，y0，0)(0≤y0≤2)，

因为＝(－1,2－y0，0)，＝(0,2，－1)，

设平面D1MC的一个法向量为v1＝(x，y，z)，

则得

取y＝1，则v1＝(2－y0，1,2)是平面D1MC的一个法向量，而平面MCD的一个法向量为v2＝＝(0,0,1)，

要使二面角D1－MC－D的大小为，

则cos＝|cos〈v1，v2〉|＝

＝＝，

解得y0＝2－(0≤y0≤2)．

所以当AM＝2－时，二面角D1－MC－D的大小为.

21. 解　(1)当a＝2时，f(x)＝(2x－x2)ex.

f′(x)＝(2－2x)ex＋(2x－x2)ex，

＝(2－x2)ex，

令f′(x)<0，即2－x2<0，解得x<－或x>，

所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．

(2)函数f(x)在(－1,1]上单调递增，

所以f′(x)≥0，对于x∈(－1,1]都成立，

即f′(x)＝[a＋(a－2)x－x2]ex≥0，对于x∈(－1,1]都成立，

故有a≥＝x＋1－，

令g(x)＝x＋1－，则g′(x)＝1＋>0，

故g(x)在(－1,1]上单调递增，g(x)max＝g(1)＝，

所以a的取值范围是[，＋∞)．

(3)假设f(x)为R的上单调函数，则为R的上单调递增函数或单调递减函数．

①若函数f(x)为R上单调递增函数，则f′(x)≥0，对于x∈R都成立，

即[a＋(a－2)x－x2]ex≥0恒成立．

由ex>0，x2－(a－2)x－a≤0对于x∈R都恒成立，

由h(x)＝x2－(a－2)x－a是开口向上的抛物线，

则h(x)≤0不可能恒成立，

所以f(x)不可能为R上的单调增函数．

②若函数f(x)为R上单调递减函数，则f′(x)≤0，对于x∈R都成立，

即[a＋(a－2)x－x2]ex≤0恒成立，

由ex>0，x2－(a－2)x－a≥0对于x∈R都恒成立，

故由Δ＝(a－2)2＋4a≤0，整理得a2＋4≤0，显然不成立，

所以，f(x)不能为R上的单调递减函数．

综上，可知函数f(x)不可能为R上的单调函数．

22.解　(1)y′＝＝3x2－3.

则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率

k1＝f′(1)＝0，

∴所求直线方程为y＝－2.

(2)设切点坐标为(x0，－3x0)，

则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3－3，

∴直线l的方程为y－(－3x0)＝(3－3)(x－x0)，

又直线l过点P(1，－2)，

∴－2－(－3x0)＝(3－3)(1－x0)，

∴－3x0＋2＝(3－3)(x0－1)，

解得x0＝1(舍去)或x0＝－，

故所求直线斜率k＝3－3＝－，

于是y－(－2)＝－(x－1)，即y＝－x＋.