【数学】云南省云天化中学2019-2020学年高二下学期开学考试（理）
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第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题:（每小题分,共分.每小题只有一个选项符合题意.）
1.在复平面内，复数对应的点到直线的距离是
A． B． C． D．1
2.用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假
设是
A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根
C．方程至多有两个实根 D．方程恰好有两个实根
3.在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是
A．3 B． C． D．
4.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排
方式共有
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
5.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
A．56 B．60 C．120 D．140
6.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题：（每小题分,共分.）
7.观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第个等式为 ．
8.等差数列的前项和为，，，则 ．
9.已知复数（是虚数单位），则．
10.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___种．（用数字填写答案）
三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.其中第题分,每题分,每题分共分.)
11题（本小题15分）
已知数列的前项和为，满足计算
猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.
12题（本小题15分）
如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
13题（本小题20分）
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
参考答案
1.B【解析】 所以复数对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x＋1的距离为＝，故选B.
2.A【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A．
3.C【解析】由可得①，由余弦定理及可得②．所以由①②得，所以．
4.D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种． 故选D．
5.D【解析】由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140．故选D．
6.A【解析】以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，
即，即 ，，故选A．
7. 【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数，加数的个数是；等式右边都是完全平方数，
行数 等号左边的项数
1=1 1 1
2+3+4=9 2 3
3+4+5+6+7=25 3 5
4+5+6+7+8+9+10=49 4 7
…… …… ……
所以，
即
8.【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，
解得，，
∴，所以，
所以．
9.【解析】，所以．
10.16【解析】通解 可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有
（种）；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有（种）．
根据分类加法计数原理知，至少有l位女生人选的不同的选法有16种．
优解 从6人中任选3人，不同的选法有（种），从6人中任选3人都是男生，不同的选法有（种），所以至少有1位女生入选的不同的选法有20–4 =16（种）．
11.易知，猜想下面用数学归纳法证明：
①第一步：当所以猜想成了；
②第二步：假设当时猜想成立，
即，
当时，
所以，当时猜想也成立，
第三步：由①②知对任意猜想成立，
即.
12.【解析】由题意知海里，
在中，由正弦定理得
=（海里），
又海里，
在中，由余弦定理得
=
30（海里），则需要的时间（小时）．
答：救援船到达点需要1小时．
13.【解析】（Ⅰ）在直角梯形中，由，得，，
由，则，即，
又平面平面，从而平面，
所以，又，从而平面．
（Ⅱ）方法一：作，与交于点，过点作，
与交于点，连结，由（Ⅰ）知，，则，
所以是二面角的平面角，在直角梯形中，
由，得，
又平面平面，得平面，从而，，
由于平面，得：，在中，由，
，得，
在中，，，得，
在中，，，，
得，，从而，
在中，利用余弦定理分别可得，
在中，，
所以，即二面角的大小是．
方法二：以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图所示，由题意可知各点坐标如下：
，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
可算得，，
由得，，可取，
由得，，可取，
于是，由题意可知，
所求二面角是锐角，故二面角的大小是．
