【数学】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考（开学）（理） 试卷
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高二下学期第一次月考（开学）（理）
一、选择题
*1.把颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球。事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”是（ ）
- 对立事件 B.不可能事件 C.互斥事件 D.必然事件
2．已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A． B． C． D．
*3.总体容量为203，若采用系统抽样法抽样，当抽样间距为多少时不需要剔除个体（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
*4．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A. B. C. D.
*5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
*6．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
7．把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ）
A．40（8） B．45（8） C．50（8） D．55（8）
*8．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A. B. C. D.
*9．为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入( )
A． B． C． D．
10．在的展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．10
11．设实数对满足，则该实数对满足的概率为( )
A． B． C． D．
12．甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
二、填空题
*13.命题“若，则”的否命题为 ．
*14.某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．
*15.已知某样本方差是5，样本中各数据的平方和是280，样本的平均数是3，则样本容量是________．
16．在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数为_______．
三、解答题
*17.是否存在实数，使“”是“”的充分条件？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由
18.在(2x-3y)10的展开式中,求:
(1)各项的二项式系数的和;
(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和;
(3)各项系数之和;
(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和.
*19．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 | |||||||
频数 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 | ||||||
频数 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
20.为了了解某市开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个区抽取5个工厂进行调查．已知这三个区分别有9，18，18个工厂．
（1）求从A、B、C三个区中分别抽取的工厂的个数．
（2）若从抽得的5个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的比较，计算这2个工厂中至少有一个来自C区的概率．
*21．下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
*22．设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：.
参考答案
一、选择题
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
C | C | D | B | A | B | D | C | B | A | C | B |
二、填空题
13.若，则 14.分层抽样 15.20 16.588
三、解答题
17.
18解：(1)各项的二项式系数的和为 ;
(2)奇数项的二项式系数的和为
偶数项的二项式系数的和为
(3)设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10 (*),各项系数之和即为a0+a1+a2+…+a10,
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求解.
令(*)中x=y=1,得各项系数之和为(2-3)10=(-1)10=1.
(4)奇数项系数的和为a0+a2+a4+…+a10,偶数项系数的和为a1+a3+a5+…+a9.
由(3)知a0+a1+a2+…+a10=1. ① 令(*)中x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=510. ②
①+②,得2(a0+a2+…+a10)=1+510,故奇数项系数的和为 ;
①-②,得2(a1+a3+…+a9)=1-510,故偶数项系数的和为.
19.解：（1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．
（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
．
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
．
估计使用节水龙头后，一年可节省水．
20．解：（1）工厂总数为9+18+18=45，样本容量与总体中的个体数比为，
所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为：A区：1个 B区：2个 C区：2个
（2）抽得的5个工厂分别记作A，B1，B2，C1，C2
列举列举出从抽取的5个工厂中随机抽取2个的事件：（A，B1）（A1，B2）（A，C1）（A，C2）（B1，B2）（B1，C1）（B1，C2）（B2，C1）（B2，C2）（C1，C2）共10个；
至少有1个来自区的事件（A，C1）（A，C2）（B1，C1）（B1，C2）（B2，C1）（B2，C2）（C1，C2）共7个，从抽得的5个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的比较，这2个工厂中至少有一个来自C区的概率.
21．解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
22．解：（1）由已知得，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为或.
所以AM的方程为或.
（2）当l与x轴重合时，.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，
则，直线MA，MB的斜率之和为.
由得.
将代入得.
所以，.
则.
从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.
综上，.
