2021-2022学年江西省宜春中学高二下学期开学考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年江西省宜春中学高二下学期开学考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式解法求出集合A，再根据交集的定义即可求解.

【详解】解：因为集合，，

所以，

故选：D.

2．在中，“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分必要条件的定义判断，在时，利用作商用正弦定理化边为角，并转化为的函数式，利用的范围证处此式大于1，从而得充分条件，反之，可举例说明不正确．

【详解】若，则，

，，.因此.

易知不等式不能得到等式关系.例如：，，时，，.

故选：A.

3．函数的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值法排除即可；

【详解】解：因为函数的定义域为，且，所以为偶函数，又，故排除A、C；又，即，故排除D；

故选：B

4．某算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的的值可能为

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】执行程序可得：，可将备选答案代入进行验证即可，当x=时，输出的y值显然是负值所以不成立，当x=时，也不成立，当时输出所以选C

5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意女子每天织布数成等差数列，且，由于，且．所以，应选答案B．

6．已知，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】由题意设，则，故函数是单调递减函数，又，即，所以，应选答案A．

7．设满足条件，若目标函数的最大值为2，则的最小值为（　　）

A．25 B．19 C．13 D．5

【答案】A

【详解】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线过直线与直线的交点时，

目标函数取得最大值2，即，

而 ．故选A．

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（       ）

A．136π B．144π C．36π D．34π

【答案】D

【详解】分析：作出几何体的直观图，建立空间直角坐标系，求出外接球的球心，从而可的外接球的半径，再计算出外接球的面积．

详解：由三视图可知几何体为四棱锥E﹣ABCD，直观图如图所示：

其中，BE⊥平面ABCD，BE=4，AB⊥AD，AB=，

C到AB的距离为2，C到AD的距离为2，

以A为原点，以AB，AD，及平面ABCD过A的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，

则A（0，0，0），B（,0，0），C（2，2， 0），D（0，4，0），E（,0，4）．

设外接球的球心为M（x，y，z），则MA=MB=MC=MD=ME，

∴x2+y2+z2=（x﹣）2+ y2+z2=（x﹣2）2+（y﹣2）2+z2=x2+(y﹣4）2+z2=(x﹣）2+y2+（z﹣4）2，

解得x=，y=2，z=2．

∴外接球的半径r=MA==，

∴外接球的表面积S=4πr2=34π．

故选D．

点睛：：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般内切球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于内切球的性质，球心到各面距离相等计算即可，当球心位置不好确定时，可以用等体积法求球半径.

9．在区间上任取两个实数，则函数在区间没有零点的概率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】在区间[0，2]上任取两个数，

则，对应的平面区域为边长为2的正方形，面积为2×2=4，

∵，∴抛物线的对称轴为，

则当时，函数取得最小值，

∵ ∴，即当上，

∴要使函数在区间没有零点，

则函数的最小值，即，

作出不等式对应的平面区域如图：（阴影部分），

对应的面积，

则对应的概率，故选D．

点睛：

(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．

(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．

10．已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前2023项和为（       ）

A．0 B．2023 C．-2023 D．1

【答案】B

【分析】根据条件，得到数列是等差数列，由，

得到，进而推导出，，

最后，求得数列的前2023项和

【详解】∵，∴数列是等差数列，

∵， ∴

∵函数，

∴，

∵

，，

 ，同理

则数列的前2023项和

故选B．

11．已知，分别是椭圆的下顶点和左焦点，过且倾斜角为的直线分别交轴和椭圆于两点，且点的纵坐标为，若的周长为，则的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，与椭圆方程联立可得，由可求得，可知为椭圆右焦点，由焦点三角形周长可构造方程求得的值，进而得到，由此可得到所求三角形面积.

【详解】

设，；

由得：，，

，解得：，，，

即为椭圆的右焦点，的周长为，即，

，解得：，，，

.

故选：A.

12．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先研究时，的单调性和极值，然后画出分段函数的图象，再令，通过换元后数形结合，可转化为一元二次方程根的分布问题，从而即可求解.

【详解】解：当时，，则，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以时，；

当时，；

作出大致图象如下：

由函数恰有5个不同零点，即方程恰有5个不等实根，

令，则方程，令函数，

①方程在区间和上各有一个实数根，则，解得；

②方程在区间和各有一个实数根，则，不等式组无解；

③方程的两根为1和5，此时无解．

综上，．

故选：C.

二、填空题

13．已知，，，若，则__________.

【答案】

【分析】利用平面向量的坐标的线性运算求得，利用向量平行的坐标表示得到方程求得的值，进而利用向量的模的坐标公式求得结论.

【详解】∵，，∴，

又∵，，

∴,∴,∴,

∴，

故答案为：

14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，，当点P在C上运动时，的最小值为，则双曲线C的离心率为______．

【答案】

【分析】设，则，求出,求出的值即得解.

【详解】解：设，

则，

，

，

当时等号成立，

的最小值是，

，

解得，

又，

，

故答案为：

15．立德中学对2022届高三学生的某项指标进行抽样调查，按性别进行分层抽样，抽查男生24人，其平均数和方差分别为12、4，抽查女生16人，其平均数和方差分别为10、6，则本次调查的总样本的方差是__________.

【答案】5.76

【分析】结合平均数和方差的公式即可求出结果.

【详解】设男生的指标数分别为，女生的指标数分别为，

则，，

所以，，

所以本次调查的总样本的平均数为，

本次调查的总样本的方差是

故答案为：

16．已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动，且线段，记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题：

①；          ②；                 ③

④函数在上是增函数，在上是减函数.

其中为真命题的是___________（写出所有真命题的序号）

【答案】①④

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，如图，则，所以的轨迹的几何意义是以为圆心为半径的球面．则是的函数，当时，以为圆心为半径的圆与正方体的表面的交线是四分之一圆周长弧长，相邻三个侧面的面积之和是，故答案①正确；当时，以为圆心为半径的圆过点，则，故答案②不正确；当时，以为圆心为半径的圆过点，则，故答案③不正确；由于时，单调递增且当时，最大；当，单调递减，故答案④正确；应填答案①④．

点睛：解答本题的关键是借助题设中提供的新信息，分别逐一验证所给的四个命题的真伪，进而做出正确判断，从而使得问题获解．难点是如何发挥空间想象能力，求解时充分借助图形的直观，借助与发挥空间想象，探求到轨迹的形状（圆弧、线段），进而求得其长度，以便做出正确的判断．

三、解答题

17．已知数列是前项和为

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）减项作差即可，注意对首项单独讨论；（2）先求出的通项公式，再分组求和.

【详解】(1)∵

当时，

当时，满足上式，

所以数列的通项公式为.

(2)由（1）得，，

则

.

18．已知分别为锐角三个内角的对边，且

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）A=;（Ⅱ）.

【详解】【试题分析】（1）运用正弦定理及余弦定理进行求解；（2）运用三角变换公式将表达式化为角的函数，再借助函数的定义域求其值域即是取值范围．

（Ⅰ）因为，

由正弦定理有   即有由余弦定理得，又A为锐角，∴ A=

（Ⅱ）由题，

又在锐角中，有，

所以，所以，

∴的取值范围是.

19．某地区2022年清明节前后3天每天下雨的概率为，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率.用随机数（，且）表示是否下雨；当时表示该地区下雨，当时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下：

332     714     740     945     593     468     491     272     073     445

992     772     951     431     169     332     435     027     898     719

(1)求出的值，并根据上述数表求出该地区2022年清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；

(2)从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量（单位：）如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）.

经研究表明：从2012年至2020年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量与年份成线性回归，求回归直线方程，并用此回归直线方程计算：如果该地区2022年（）清明节有降雨的话，降雨量为多少？

【答案】(1)，

(2)，

【分析】（1）由，可得，即0~4表示下雨，5~9表示不下雨，从而根据古典概型的概率计算公式即可求解；

（2）由题中所给的数据可得，，根据公式，，求出回归直线方程，即可估计该地区2022年清明节有降雨的话，降雨量是多少.

【详解】(1)解：由题意可知，，解得，即0~4表示下雨，5~9表示不下雨，

所给的20组数据中714，740，491，272，073，445，435，027，共8组表示3天中恰有两天下雨，

故所求的概率为；

(2)解：由题中所给的数据可得，，

，

，

所以，，

所以回归方程为，

当时，，

所以该地区2022年清明节有降雨的话，估计降雨量为.

20．如图，在三棱锥中，底面，，，分别是的中点，F在SE 上，且.

（1）求证：平面；

（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）存在，

【解析】（1）由已知可得，所以，又由已知可证底面，所以，问题得解；

（2）以为坐标原点，建立空间坐标系，可求得平面的法向量为，平面的法向量为，所以有，求解即可.

【详解】（1）由

是的中点，所以

因为平面，所以

在，，所以

因此

所以

则，即

平面，

又，底面

则，又，

所以平面.

（2）假设满足条件的点存在，并设，

以为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系

则：，

则

设平面的法向量为

取，则，

设平面的法向量为，

，

取

化简得：

于是满足条件的点G存在，且.

【点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明和二面角的求法，本题几何体比较规则，用空间向量方法求二面角比较易解，属于中档题.

21．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.

【详解】试题分析：（1）由焦点坐标可得，再根据及点在椭圆上，可得，进而可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，与判别式为正可得，再根据平行四边形性质及韦达定理可得点的纵坐标范围是，可判定点不在椭圆上，所以这样的直线不存在．

试题解析：（1）设椭圆的焦距为，则，

因此椭圆方程为

在椭圆上，解得

故椭圆的方程为．

（2）假设存在这样的直线       设直线的方程为，

设，，，，的中点为，

由得，

所以，且，则，

由知四边形为平行四边形，

而为线段的中点，因此，也是线段的中点，

所以，可得，

又，所以，

因此点不在椭圆上．

所以这样的直线l不存在

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、韦达定理以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.

22．设函数.

(1)若，求在点处的切线方程；

(2)求的单调递减区间；

(3)求证：不等式恒成立.

【答案】(1)

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）利用导数的几何意义可求得切线斜率，结合切点坐标可得切线方程；

（2）求导后，根据时，可得单调递减区间；

（3）设，将问题转化为证明；利用导数可说明，使得在上单调递减，在上单调递增，由此可得，结合基本不等式可知，由此得，由此可得结论.

【详解】(1)当时，，，

，又，

在点处的切线方程为：，即.

(2)由题意得：定义域为，；

令，解得：，

当时，；当时，；

的单调递减区间为.

(3)设，则，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，又，，

，使得，则，，

在上单调递减，在上单调递增，

（当且仅当时取等号），

又，，，即恒成立.