【数学】云南省陆良县联办高级中学2019-2020学年高二下学期入学考试（理）
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高二下学期入学考试（理）
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集,则为
A． B． C． D．
2．若，则
A． B． C． D．
3．甲、乙两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图如图所示，则“”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知等比数列中，，公比，则等于
A． B． C． D．
5．函数的图象大致是
A． B． C． D．
6.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则
A．2 B．3 C．4 D．8
7．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
8．在中，，，，则在方向上的投影是
A．4 B．3 C．-4 D．-3
9．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
10. 设，，则
A． B． C． D．
11．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为
A． B． C． D．
12．已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为其左右顶点,以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且,则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
13． 的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.
14．若满足约束条件 则的最大值为__________．
15．已知，，则__________．
16．已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有且当时，，则__________．
三、解答题（共6题，共70分）
17（12分）、为了纪念“一带一路”倡议提出五周年,某城市举办了一场知识竞赛,为了了解市民对“一带一路”知识的掌握情况,从回收的有效答卷中按青年组和老年组各随机抽取了40份答卷,发现成绩都在内,现将成绩按区间,,,，进行分组,绘制成如下的频率分布直方图．
青年组 老年组
(1)利用直方图估计青年组的中位数和老年组的平均数；
(2)从青年组,的分数段中,按分层抽样的方法随机抽取5份答卷,再从中选出3份答卷对应的市民参加政府组织的座谈会,求选出的3位市民中有2位来自分数段的概率．
18（12分）、在中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长.，.
（1）求角A的值；
（2）若，求的面积.
19（12分）、已知数列是各项都为正数的等比数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
20（12分）、已知四棱锥，，，，点在底面上的射影是的中点，．
（1）求证：直线平面；
（2）若，、分别为、的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）当四棱锥的体积最大时，求二面角的大小．
21（12分）、已知椭圆C: 的左,右焦点分别为且椭圆上的点到两点的距离之和为4
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于两点,为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由
22（10分）、 在直角坐标系中，圆C的参数方程为，其中为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆的极坐标方程；
(2)为圆上一点，且点的极坐标为，射线绕点逆时针旋转，得射线，其中也在圆上，求的最大值．
参考答案
一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）
1． B 2．D 3．A 4．C 5．A 6.D 7．D 8．D 9．A 10．B 11．B 12．B
二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 14．9 15． 16．
三、解答题（共6题，共70分）
17（12分）、 (1)中位数为80，平均数为(2)
(1)由青年组的频率分布直方图可知,前3个小矩形的面积和为,后2个小矩形的面积和为,所以中位数为80．
中老年组成绩的平均数为
．
(2)青年组,的分数段中答卷分别为12份,8份,
抽取比例为,所以两段中分别抽取的答卷分别为3份,2份．
记中的3位市民为,,,中的2位市民为,,
则从中选出3位市民，共有不同选法种数10种：
,,,,
,,,,,．
其中,有2位来自的有3种：,,．
所以所求概率．
18（12分）、（1）；（2）.
（1）在中,因为,
所以
因为
由正弦定理,得,即
所以
若,则,与矛盾,故
于是
又因为
所以
（2）因为,,,
所以
由正弦定理,得
所以的面积为
19（12分）、（1）设数列的公比为q，则，可变形为，
化简为
解得或（舍去）
因为，所以，解得
所以数列的通项公式为
（2）因为
所以
所以
20（12分）、（1）证明见解析（2）（3）
（1）连接，因为平面，平面，所以，
又因为，且为的中点，故．
又，所以平面；
（2）以为原点，、所在直线分别为、轴建立直角坐标系如图所示，
则，，，，
于是，解得．即．
所以，，
设平面的法向量为，，，
则，令，得，
所以．
故直线与平面所成角的正弦值为；
（3）设，则，，
所以
，
当且仅当即时取等号，此时，，
以为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，．
设平面的法向量为，，，
则，令，得，
同理，可得平面的一个法向量为的，
所以，
又因为二面角为钝二面角，所以二面角的大小为．
21（12分）、（1）；（2）定值1
【详解】
（1）由已知，即，又点在椭圆上，
所以，所以，故椭圆方程为.
（2）设，
由，得，
则，即，
且，
因为直线的斜率之积等于，
，
所以，
即，
又到直线MN的距离为，
所以.
22（12分）、（1），
由可得圆的极坐标方程．
（2）由题意可知：,所以
，所以，
从而最大值为．
