【数学】贵州省遵义市南白中学2018-2019学年高二上学期第一次月考（文） 试卷
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高二上学期第一次月考（文）
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码中“准考证号、姓名、考生科目”与本人准考证号、姓名是否一致.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则 =( )
A．∅ B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
2．经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，贵州省黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误的是( )
A. 旅游总人数逐年增加
B．2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和
C． 年份数与旅游总人数成正相关
D． 从2014年起旅游总人数增长加快
3．已知函数是奇函数，当时，，则 ( )
( )
A． B．
C． D．
4．圆：与圆：的位置关系是 ( )
A．相交 B．外切
C．内切 D．相离
5.已知向量，，，若，则等于( )
A． B．2
C． D．1
6．执行如图所示的程序框图，输出的值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
7．是两个平面，是两条直线，则下列命题中错误的是( )
A． 如果，那么
B． 如果，那么
C． 如果，那么
D．如果，那么
8．已知函数，则的大致图象为( )
A．B．
C． D．
9．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为( )
A．1 B．
C． D．
10．若直线（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则最小值( )
A．2 B．6
C．12 D．3+2
11．在锐角中， ，则的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．
12．如图，已知正方体的棱长为1，E为棱的中点，F为棱上的点，且满足，点F、B、E、G、H为面MBN过三点B、E、F的截面与正方体在棱上的交点，则下列说法错误的是( )
A．HF//BE B．
C．∠MBN的余弦值为 D．△MBN的面积是
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知，则 ．
14．设变量，满足约束条件，则的最小值为 ．
15．已知数列满足：，数列的前项和为，则 ．
16．正四面体内切球半径与外接球半径之比为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分10分）
已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
已知向量，，，．
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）在中，角所对的边分别为，若且=0，求面积最大值.
19．（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，四边形四边均相等，点在面的射影为中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，，，求点到面的距离．
20.（本小题满分12分）
某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：
消费次第 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | ≥5次 |
收费比例 | 1 |
该公司从注册的会员中，随机抽取了位进行统计，得到统计数据如下：
消费次第 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次 |
频数 |
假设汽车美容一次，公司成本为元．根据所给数据，解答下列问题：
（Ⅰ）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；
（Ⅱ）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
（Ⅲ）该公司从至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品．求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．
21.（本小题满分12分）
如图，四边形是平行四边形，平面⊥平面，，，，，，，．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
22.（本小题满分12分）
已知过原点的动直线与圆C1：相交于不同的两点.
（Ⅰ）求圆C1的圆心坐标和半径；
（Ⅱ）求线段的中点的轨迹C的方程；
（Ⅲ）是否存在实数，使得直线与曲线C只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1-5、CBBBC 6-10、CDACD 11-12、DC
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
- （本小题满分10分）
解：（Ⅰ），，
则，
即 ，
∴数列的通项公式为. （5分）
（Ⅱ），
∵, ∴数列是公比为4的等比数列，
，∴数列的前n项和.（10分）
18.（本小题满分12分）
解：（1）由题意知．
令，得的单调递增区间
（6分）
（2），又，则．又ccosB+bcosC=1得a=1，由余弦定理得．得bc.
面积s=当且仅当b=c即为等边三角形时面积最大为 （12分）
19.（本小题满分12分）
解（1）证明 连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．
因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1．（2分）
又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，
故B1C⊥平面ABO．（4分）
由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB．（5分）
（2）解 在平面BB1C1C内作OD⊥BC，垂足为D，连接AD．
在平面AOD内作OH⊥AD，垂足为H．
由于BC⊥AO，BC⊥OD，
故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC．（7分）
又OH⊥AD，
所以OH⊥平面ABC．
因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．
又BC＝1，可得．由于AC⊥AB1，所以．（10分）
由OH·AD＝OD·OA，且，得．（12分）
法二：（等体积法）（12分）
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）100位会员中，至少消费两次有40人，
所以估计一位会员至少消费两次的
概率为； （4分）
（Ⅱ）该会员第1次消费时，公司获得利润为（元），
第2次消费时，公司获得利润为（元），
所以，公司这两次服务的平均利润为（元）； （8分）
（Ⅲ）至少消费两次的会员中，消费次数分别为2，3，4，5的比例为，
所以抽出的8人中，消费2次的有4人，设为，，，，
消费3次的有2人，设为，，消费4次和5次的各有1人，分别设为，，
从中取2人，取到的有：，，，，，，共7种；
去掉后，取到的有：，，，，，共6种；
去掉，，，，，后，取到的有：共1种；
总的取法有种，（10分）
其中恰有1人消费两次的取法共有：种，
所以，抽出的2人中恰有1人消费两次的概率． （12分）
21（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：取的中点为，连接，在中，
因为是的中点，所以且，
又因为，所以且，
即四边形是平行四边形，所以，（4分）
又平面，平面，
所以平面.（5分）
（Ⅱ）在中，，由余弦定理可，
进而可得，即，（6分）
又因为平面平面平面；平面平面，
所以平面.
又因为平面，
所以平面平面.（7分）
因为，
所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.（8分）
过点作于点，连接，
又因为平面平面，
所以平面，
所以直线与平面所成角即为.（9分）
在中，，由余弦定理可得，
所以，因此，（10分）
在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为．（12分）
22.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）(1)圆C1的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.∴圆C1的圆心坐标为(3，0)，半径为2．（2分）
（Ⅱ）设动直线l的方程为y＝kx，A，B两点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
联立⇒(k2＋1)x2－6x＋5＝0，
则Δ＝36－4(k2＋1)×5>0⇒k2<.则x1＋x2＝.（6分）所以．（5分）
⇒AB中点M的轨迹C的方程为
消去k
得轨迹C的方程为＋y2＝，<x≤3.（7分）
（Ⅲ）联立得
由得，结合轨迹的图像知满足题意。
另外由轨迹的图像的端点与点的斜率及其变化情况知，当时，直线与曲线C只有一个交点，故的取值范围为（12分）
