【数学】贵州省遵义市南白中学2018-2019学年高二上学期第一次月考（文） 试卷
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贵州省遵义市南白中学2018-2019学年高二上学期第一次月考（文）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码中“准考证号、姓名、考生科目”与本人准考证号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则 =( )A．∅ B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}2．经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，贵州省黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误的是( )A. 旅游总人数逐年增加B．2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和C． 年份数与旅游总人数成正相关D． 从2014年起旅游总人数增长加快3．已知函数是奇函数，当时，，则 ( )( )A． B． C． D．4．圆：与圆：的位置关系是 ( )A．相交 B．外切 C．内切 D．相离5.已知向量，，，若，则等于( )A． B．2 C． D．16．执行如图所示的程序框图，输出的值为( )A．2 B．4 C．6 D．87．是两个平面，是两条直线，则下列命题中错误的是( )A． 如果，那么 B． 如果，那么C． 如果，那么 D．如果，那么8．已知函数，则的大致图象为( )A．B．C． D．9．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为( )A．1 B． C． D．10．若直线（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则最小值( )A．2 B．6 C．12 D．3+211．在锐角中， ，则的取值范围是 ( )A． B． C． D． 12．如图，已知正方体的棱长为1，E为棱的中点，F为棱上的点，且满足，点F、B、E、G、H为面MBN过三点B、E、F的截面与正方体在棱上的交点，则下列说法错误的是( )A．HF//BE B． C．∠MBN的余弦值为 D．△MBN的面积是第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知，则 ． 14．设变量，满足约束条件，则的最小值为 ． 15．已知数列满足：，数列的前项和为，则 ． 16．正四面体内切球半径与外接球半径之比为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知数列的前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和． 18．（本小题满分12分）已知向量，，，．（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）在中，角所对的边分别为，若且=0，求面积最大值. 19．（本小题满分12分）如图，三棱柱中，四边形四边均相等，点在面的射影为中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，，，求点到面的距离． 20.（本小题满分12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第第1次第2次第3次第4次≥5次收费比例1该公司从注册的会员中，随机抽取了位进行统计，得到统计数据如下：消费次第第1次第2次第3次第4次第5次频数假设汽车美容一次，公司成本为元．根据所给数据，解答下列问题：（Ⅰ）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（Ⅱ）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（Ⅲ）该公司从至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品．求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率． 21.（本小题满分12分）如图，四边形是平行四边形，平面⊥平面，，，，，，，．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值. 22.（本小题满分12分）已知过原点的动直线与圆C1：相交于不同的两点.（Ⅰ）求圆C1的圆心坐标和半径；（Ⅱ）求线段的中点的轨迹C的方程；（Ⅲ）是否存在实数，使得直线与曲线C只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1-5、CBBBC 6-10、CDACD 11-12、DC第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（本小题满分10分）解：（Ⅰ），，则， 即 ， ∴数列的通项公式为. （5分）（Ⅱ），∵, ∴数列是公比为4的等比数列，，∴数列的前n项和.（10分）18.（本小题满分12分）解：（1）由题意知．令，得的单调递增区间 （6分）（2），又，则．又ccosB+bcosC=1得a=1，由余弦定理得．得bc.面积s=当且仅当b=c即为等边三角形时面积最大为 （12分）19.（本小题满分12分）解（1）证明 连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1．（2分）又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO．（4分）由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB．（5分）（2）解 在平面BB1C1C内作OD⊥BC，垂足为D，连接AD．在平面AOD内作OH⊥AD，垂足为H．由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC．（7分）又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC．因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．又BC＝1，可得．由于AC⊥AB1，所以．（10分）由OH·AD＝OD·OA，且，得．（12分）法二：（等体积法）（12分）20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）100位会员中，至少消费两次有40人，所以估计一位会员至少消费两次的概率为； （4分）（Ⅱ）该会员第1次消费时，公司获得利润为（元），第2次消费时，公司获得利润为（元），所以，公司这两次服务的平均利润为（元）； （8分）（Ⅲ）至少消费两次的会员中，消费次数分别为2，3，4，5的比例为，所以抽出的8人中，消费2次的有4人，设为，，，，消费3次的有2人，设为，，消费4次和5次的各有1人，分别设为，，从中取2人，取到的有：，，，，，，共7种；去掉后，取到的有：，，，，，共6种；去掉，，，，，后，取到的有：共1种；总的取法有种，（10分）其中恰有1人消费两次的取法共有：种，所以，抽出的2人中恰有1人消费两次的概率． （12分）21（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：取的中点为，连接，在中，因为是的中点，所以且，又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以，（4分）又平面，平面，所以平面.（5分）（Ⅱ）在中，，由余弦定理可，进而可得，即，（6分）又因为平面平面平面；平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（7分）因为，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.（8分）过点作于点，连接，又因为平面平面，所以平面，所以直线与平面所成角即为.（9分）在中，，由余弦定理可得，所以，因此，（10分）在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为．（12分）22.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）(1)圆C1的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.∴圆C1的圆心坐标为(3，0)，半径为2．（2分）（Ⅱ）设动直线l的方程为y＝kx，A，B两点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，联立⇒(k2＋1)x2－6x＋5＝0，则Δ＝36－4(k2＋1)×5>0⇒k2<.则x1＋x2＝.（6分）所以．（5分）⇒AB中点M的轨迹C的方程为消去k得轨迹C的方程为＋y2＝，<x≤3.（7分）（Ⅲ）联立得由得，结合轨迹的图像知满足题意。另外由轨迹的图像的端点与点的斜率及其变化情况知，当时，直线与曲线C只有一个交点，故的取值范围为（12分）
