【数学】福建省南安市侨光中学2019-2020学年高二上学期第二次阶段考试试题
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高二上学期第二次阶段考试试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.直线的倾斜角为( )
A、 B、 C、 D、
2.椭圆的一个焦点是（ ）
A. B. C. D.
3、不论m为何实数，直线恒过定点（ ）
A. B. C. D.
4. 若{ }为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( )
A． B．
C． D．
5、已知直线与平行，则m的值是（ ）
A． B．4 C．或4 D．1或
6、公差不为0的等差数列中，是公比为q的等比数列，则q的值为（ ）
A. 5 B.2 C.3 D.4
7.下列命题正确的是（ ）
A.方程表示的图形是以为圆心，半径为的圆
B. 方程表示的图形是以为圆心，半径为的圆
C. 方程表示的图形是以为圆心，半径为的圆
D. 方程表示的图形是以为圆心，半径为的圆
8．椭圆上的点到左焦点的距离是2，是的中点，O为坐标原点，则|ON|为( )
A．4 B．2 C．8 D．
9．设数列{an}．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，，则{an}为等比数列
B．若，，则{an}为等比数列
C．若 n，，则{an}为等比数列
D．若，，则{an}为等比数列
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点在上运动(包括端点)，则与所成角的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.已知数列满足，，，则的前64项和为（ ）
A.2019 B. 2064 C. 2020 D. 2080
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.等差数列中，若，则 .
14. 在为正方体中，直线与平面所成角的正弦值为
15．直线与椭圆相交于不同的两点、，若的中点
横坐标为2，则直线的斜率等于
16.已知圆,若等边的一边为圆的一条弦，
则的最大值为
三、解答题：共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列前项和．
18（本小题满分12分）如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，
且∠C1CB＝∠C1CD＝, ∠BCD,
(1)求证： C1C⊥BD, (2)求的长
19. （本小题满分12分）已知圆
(1)若直线与圆相交于两点，且，求直线在轴上的截距
(2) 若点在圆上，求：的取值范围
20．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列前项和．
21.如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，点M在线段EC上．
（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成锐二面角为．
22. （本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作直线与椭圆分别交于两点，若三角形的周长为，且以为直径的圆与直线相切．
（I）求椭圆的方程；（II）求的最大值．
(注：已知，,则
已知,，则)
参考答案
二、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.直线的倾斜角为( D)
A、 B、 C、 D、
2.椭圆的一个焦点是（ B ）
A. B. C. D.
3、不论m为何实数，直线恒过定点（ B ）
A. B. C. D.
4. 若{ }为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( A )
A． B．
C． D．
5、已知直线与平行，则m的值是（ B ）
A． B．4 C．或4 D．1或
6、公差不为0的等差数列中，是公比为q的等比数列，则q的值为（ C ）
A. 5 B.2 C.3 D.4
7.下列命题正确的是（ D ）
A.方程表示的图形是以为圆心，半径为的圆
B. 方程表示的图形是以为圆心，半径为的圆
C. 方程表示的图形是以为圆心，半径为的圆
D. 方程表示的图形是以为圆心，半径为的圆
8．椭圆上的点到左焦点的距离是2，是的中点，O为坐标原点，则|ON|为( A )
A．4 B．2 C．8 D．
9．设数列{an}．给出下列命题，其中正确的命题是（ C ）
A．若，，则{an}为等比数列
B．若，，则{an}为等比数列
C．若 n，，则{an}为等比数列
D．若，，则{an}为等比数列
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点在上运动(包括端点)，则与所成角的取值范围是( D )
A. B. C. D.
解析 以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，点P坐标为(x,1－x，x)(0≤x≤1)，则＝(x－1，－x，x)，＝(－1,0,1)，
因为BC1∥AD1，设，的夹角为α，
所以cos α＝＝＝，
所以当x＝时，cos α取得最大值，α＝.
当x＝1时，cos α取得最小值，α＝.故选D.
11.已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ A ）
A. B. C. D.
【解析】由题意设直线的方程为，分别令与得，12.已知数列满足，，，则的前64项和为（ D ）
A.2019 B. 2064 C. 2020 D. 2080
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.等差数列中，若，则 .
14. 在为正方体中，直线与平面所成角的正弦值为
15．直线与椭圆相交于不同的两点、，若的中点
横坐标为2，则直线的斜率等于
16.已知圆,若等边的一边为圆的一条弦，
则的最大值为 4
三、解答题：共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列前项和．
略
18（本小题满分12分）如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，
且∠C1CB＝∠C1CD＝, ∠BCD,
(1)求证： C1C⊥BD, (2)求的长
18.(1)略 (2)
19. （本小题满分12分）已知圆
(1)若直线与圆相交于两点，且，求直线在轴上的截距
(2) 若点在圆上，求：的取值范围
19．解（1）：由得，设圆心M到直线的距离为，
则
，或，所以直线在轴上的截距为或
(2)略
20．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列前项和．
20. 解：（Ⅰ）
当时， 则， …………………1分
当时，
两式相减，得所以 …………………5分
所以是以首项为2，公比为2等比数列，
所以 …………6分
（Ⅱ）因为 ……………………………………7分
……………………………9分
两式相减，得即
所以……12分
21.如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=AB=1，点M在线段EC上．
（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）判断点M的位置，使得平面BDM与平面ABF所成锐二面角为．
（Ⅰ）证明：如图，
∵DC=BC=1，DC⊥BC，∴BD=，
又∵AD=，AB=2，∴AD2+BD2=AB2，则∠ADB=90°，
∴AD⊥BD．
又∵面ADEF⊥面ABCD，ED⊥AD，面ADEF∩面ABCD=AD，
∴ED⊥面ABCD，则BD⊥ED，
又∵AD∩DE=D，∴BD⊥面ADEF，又BD⊂面BDM，
∴平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）在面DAB内过D作DN⊥AB，垂足为N，
∵AB∥CD，∴DN⊥CD，
又∵ED⊥面ABCD，∴DN⊥ED，
∴以D为坐标原点，DN所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∴B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，0，），N（1，0，0），
设M（x0，y0，z0），由，得，
∴x0=0，，则M（0，λ，），
设平面BDM的法向量，则，∴，
令x=1，得．
∵平面ABF的法向量，
∴，解得：．
∴M（0，），
∴点M的位置在线段CE的三等分点且靠近C处．
22. （本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作直线与椭圆分别交于两点，若三角形的周长为，且以为直径的圆与直线相切．
（I）求椭圆的方程；（II）求的最大值．
(注：已知，,则
已知,，则)
22.试题解析：（I）由题意，即
∴，．
（II）因为三角形的周长为，所以
∴，∴椭圆方程为，
且焦点，
①若直线斜率不存在，则可得轴，方程为
解方程组可得或．
∴，∴，故．
②若直线斜率存在，设直线的方程为，由消去整理得
，设，
则
∴
∵，∴可得，综上可得，所以最大值是．
