【数学】福建省泉州市泉港区第一中学2019-2020学年高二上学期第二次月考试题
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高二上学期第二次月考试题
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
- 经过点且在x轴上的截距为3的直线方程是
A. B. C. D.
- 已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
- 焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为,则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
- 点是直线l：上的动点,点,则的最小值是( )
A. B. C. D.
- 等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a5+a8+a11的值为（）
A. 30 B. 27 C. 9 D. 15
- 若等比数列{an}的前n项和Sn=3n+1+a，则a=（）
A. 1 B. C. 3 D.
- 已知等比数列{an}满足a1=，a3a5=4（a4-1），则a2=（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
- 过点M（2，-2）以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
- 如图，M是抛物线y2=4x上一点（M在x轴上方），F是抛物线的焦点，若|FM|=4，则∠xFM=（ ）
A.30○ B..45○ C. 60○ D. 75○
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- 已知F1，F2是双曲线E：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
- 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点P是侧面CDD1C1上的动点，且MP∥截面AB1C，则线段MP长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
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- 我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中,第n行的所有数字之和为,若去除所有为1的项,依次构成数列,则此数列的前55项和为 .
A. 4072 B. 2026 C. 4096 D. 2048
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
- 已知函数f（x）=，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为______．
- 若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=______时，{an}的前n项和最大．
- 已知双曲线C：的一条渐近线l的倾斜角为，且C的一个焦点到l的距离为，则C的方程为______．
- 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列四个命题：
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是____________．(写出所有真命题的编号)
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
- 已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，a2＝3，S4＝16，n∈N*．
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）设，求数列｛bn｝的前n项和Tn．
- 已知抛物线的焦点上一点到焦点的距离为.
（1）求的方程；
（2）过作直线，交于两点，若直线中点的纵坐标为，求直线的方程.
- 在平面直角坐标系中，已知圆与圆关于直线对称．
（1）求直线的方程；
（2）设圆与圆交于点、，点为圆上的动点，求面积的最大值．
- 设数列的前n项和为，且，数列为等差数列，且．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和;
（Ⅲ）若对任意正整数，不等式均成立，求的最大值．
- 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分别为A1C1、BC的中点，AB=BC=2，C1F⊥AB．
（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）若直线C1F和平面ACC1A1所成角的正弦值等于，求二面角A-BE-C的余弦值．
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- 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，且与直线l：y=x+3相切．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆上点A（2，1）作椭圆的弦AP，AQ，若AP，AQ的中点分别为M，N，若MN平行于l，则OM，ON斜率之和是否为定值？
参考答案
1. C 2. B 3.C 4. C 5. D 6. D 7. C 8. A 9. C 10. D 11. B 12. A
13. 1 14. 8 15. x2-=1 16. ①③④
17.解：（1）设数列｛an｝的公差为d，
∵＝3，＝16，
∴,
∴解得,∴；
（2）∵由题意，,
,,∴,
,,.
18.解：（1）抛物线:的准线方程为
由抛物线的定义可知，解得.
∴的方程为；
（2）由（1）得抛物线C的方程为，焦点，
设两点的坐标分别为，
则.两式相减整理得，
∵线段AB中点的纵坐标为，
∴直线的斜率.
直线的方程为，即.
19.解：（1）把圆的方程化为，
所以圆心,半径为.
因为, 所以的中点为,.
由已知条件得,直线经过点,且斜率,
所以直线的方程为,即.
（2）由（1）得:直线的方程为，
圆心到直线的距离为.
由条件可得圆的半径与圆的半径相等,都是，
所以弦长.
要使的面积最大,则须.
此时点到的距离为,
此时的面积为．
所以面积的最大值为.
20.解：（Ⅰ）当时，；
当时，，此式当时也成立.
.
.
，
，公差d=b2-b1=2,
易得；
（Ⅱ）由（Ⅰ） .
，
.
=
=
；
（Ⅲ）,得 .
令，
则
当时，.
而，从第2项起是递增的，
故，，的最大值为4.
21.（1）证明：由直三棱柱ABC-A1B1C1，∴BB1⊥底面ABC，
∴BB1⊥AB，又C1F⊥AB，BB1与C1F相交，
∴AB⊥平面ABE，又AB⊂平面ABE，
∴平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）解：由（2）可知：AB⊥BC．
因此可建立如图所示的空间直角坐标系．F（0，1，0），设C1（0，2，t）（t＞0），=（0，1，t）．
由题意可取平面ACC1A1的法向量为=（1，1，0）．
∵直线C1F和平面ACC1A1所成角的正弦值等于，
∴=|cos|==，
解得t=2．
∴E（1，1，2），A（2，0，0），C（0，2，0），=（2，0，0），
=（1，1，2），=（0，2，0）．
设平面ABE的法向量为=（x，y，z），则=•=0，
可得：x=0，x+y+2z=0，取y=2，可得：=（0，2，-1）．
同理可得平面CBE的法向量为=（2，0，-1）．
∴cos===．
∴二面角A-BE-C的余弦值为．
22.解：（Ⅰ）∵，∴，
即a2=2b2，
由，得3x2+12x+18-2b2=0，
=144-4×3（18-2b2）=0，
得b2=3，则a2=6，所以椭圆方程为；
（Ⅱ）因为AP，AQ的中点分别为M，N，直线MN平行于l，
所以KMN=KPQ=1，
设直线PQ的方程y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立方程组，
得3x2+4tx+2t2-6=0，
，，
由题意得，，，
=
=，
所以OM，ON斜率之和是为定值0．
