【数学】福建省泰宁第一中学2019-2020学年高二上学期第一阶段考试试题
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高二上学期第一阶段考试试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，
考试时间：120分钟 总分：150分
注意事项：
1. 答题前，考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答，答案无效.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．抛物线的准线方程为（ ）
. . . .
2．已知向量，，且//，则实数（ ）
. . . .
3．下列命题错误的是（ ）
.“若，则”的否命题为“若，则”
.若为假命题，则均为假命题；
.命题“，”的否定为“，”
.命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程无实数根，则”；
- 抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为( )
A. B. C. D. 或
5．“”是“椭圆焦距为”的（ ）
.充分不必要条件 .必要不充分条件 .充要条件 .既不充分也不必要条件
6．在空间四边形中，点在线段上，且，点为的中点．若，，，则等于（ ）
. . . .
7． 已知双曲线C: 的离心率为，则的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
8．如图所示，在正方体中，点是棱的中点，
点是棱的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
.120° .90° .60° .30°
9．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2 ，点P在椭圆上，则的最大值是（ ）
A． B．4 C. D．2
10．如图，在二面角α﹣l﹣β的棱l上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，若二面角α﹣l﹣β的大小为，AB=AC=2，BD=3，则CD=（ ）
A． B． C． D．
11．已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ）
12．已知双曲线C:的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若，则的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．双曲线的焦距长为_______．
14．命题“”是假命题，则实数a的取值范围为_________
15．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为
16．在正方体中，若棱长为，点、分别为线段、上的动点，则下列结论中正确结论的序号是__________
①面； ②面面；
③点到面的距离为定值； ④线与面所成角的正弦值为定值.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知命题无实数解，命题：方程表示焦点在轴上的双曲线.
（Ⅰ）若命题为假命题，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若命题“或”为真，命题“且”为假，求实数的取值范围.
18．(本小题满分12分)
已知双曲线 的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，且经过点（2，3）．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程和其渐近线方程；
（Ⅱ）设直线l经过点（0，﹣1），且斜率为k．求直线l与双曲线C有两个公共点时k的取值范围．
19．（本小题满分12分）
如图所示，在直三棱柱中,为等腰直角三角形,
,且,分别为、、的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知点满足,设点M的轨迹是曲线C．
Ⅰ求曲线C的方程．
Ⅱ过点且斜率为1的直线l与曲线C交于两点A,B,求（O为坐标原点）的面积
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=45°，PA⊥底面ABCD，AB=AC=PA=2，E、F分别为BC、AD的中点，点M在线段PD上．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）设，若直线ME与平面PBC所成的角θ的正弦值为，求λ的值．
22.（本小题满分12分）
已知椭圆：的左焦点为,过点做轴的垂线交椭圆于两点,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若为椭圆短轴的上顶点，直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为，问：直线是否过定点？若是，求出这个定点，否则说明理由.
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | B | B | C | A | C | C | B | B | A | D | C |
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、 4 14、 15、 16、①②③
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
17、解： （Ⅰ）命题：，得 ……………………………2分
依题意得为真命题……………………………………………………………………3分
所以，的取值范围为 …………………………………………………………4分
（Ⅱ）命题：，得 ………………………………6分
依题意得p与q必然一真一假…………………………………………………………7分
若真假，则，得或 …………………8分
若假真，则，此时无解 ……………………………………9分
所以，实数的取值范围为 …………………………………………10分
18【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）法一：由已知，双曲线的焦点为（﹣2，0）和（2，0）…
据定义有：…
故a2=1，c2=4，b2=3，从而所求双曲线C的方程为．…
其渐近线方程为：…
法二：由，故所求双曲线C的方程为…
其渐近线方程为：…
（Ⅱ）由得：（3﹣k2）x2+2kx﹣4=0…
当3﹣k2≠0，即时，…
若△＞0，即△=4k2﹣4（﹣4）（3﹣k2）=12（4﹣k2）＞0⇒4﹣k2＞0⇒﹣2＜k＜2时，
直线与双曲线相交，有两个公共点；…
所以，当﹣2＜k＜2，且时，直线与双曲线有两个公共点
19、解: （Ⅰ）方法一：设的中点为，连接，则,
∴四边形为平行四边形…………………………………………………………2分
∴………………………………………………………………………………4分
又, ∴面． ……………………………6分
法二：以点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系
令，则, …2分
，面的一个法向量为 ……………………………3分
∵，∴ ………………………………………………………5分
又∵，∴∥平面．………………………………… ……6分
（Ⅱ）,,
∴
∴ ,
∵ ∴面
∴平面的一个法向量为…………………………………………8分
设平面的法向量为，则由，即.
令，则 …………………………………………9分
……………………………………………………11分
∴锐二面角的余弦值为 ……………………………………………12分
20.（12分）解：由已知得点M的轨迹是以点为焦点的抛物线
∴ ∴
所以曲线的方程为 ……………………5分
(2)联立 得 ………7分
……………9分
………12分
21.【解答】（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠ABC=45°，
所以∠ACB=45°，故AB⊥AC． …
由E、F分别为BC、AD的中点，得EF∥AB，所以EF⊥AC…
因为PA⊥底面ABCD，EF⊂底面ABCD，所以PA⊥EF． …
又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，…
所以EF⊥平面PAC． …
（向量法参照给分，建立空间直角坐标系时没有证明AB⊥AC扣1分）
（Ⅱ）解：因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP，AB，AC两两垂直，分别以AB，AC，AP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0）．
所以，，…
由已知，，故，
所以M（﹣2λ，2λ，2﹣2λ），，…
设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），
由，得
令x=1，得=（1，1，1）．…
所以
=，…
化简得4λ2+4λ﹣3=0，…
故或（舍）…
22.【答案】（1）（2）过定点（2，-1）
【详解】解：(1)由题意可知，
令，代入椭圆可得，
又，
两式联立解得：，
；
(2)①当斜率不存在时，设，
，
得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题意.
②当斜率存在时，设，
，
联立，
整理得， ，
，
，，此时，存在使得成立．
∴直线的方程为，即，
当，时，上式恒成立，
所以过定点．
