北师大版2020年九年级数学上册 第一次月考模拟试卷三（含答案）
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第一次月考模拟试卷
一、选择题
1.方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6、2、5 B．2、﹣6、5 C．2、﹣6、﹣5 D．﹣2、6、5
2.用配方法解方程x2+4x﹣1=0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2=5 B．（x+2）2=1 C．（x﹣2）2=1 D．（x﹣2）2=5
3.一元二次方程x2﹣2x﹣3=0 的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是（ ）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
4.正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
5.下列说法正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
6.如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E，交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：
①OE=OA；②EF⊥AC；③AF平分∠BAC；④E为AD中点．正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7.已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
8.菱形的对角线长分别为6和8，则此菱形的面积为 ．
9.方程是一元二次方程，则m= ．
10.矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=3cm，则BD= cm．
11.写出以4，﹣5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是 ．
12.如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积Sn= ．
三、解答题：
13. ①解方程：（x﹣1）2=4． ②解方程：x2+2x﹣3=0．
14.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
15.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．
16.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°．求证：BE=CF．
17.如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，BE=CE，AD=4cm．
（1）求菱形ABCD的各角的度数；
（2）求AE的长．
18.如图，在△ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连CF
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=6，∠BEF=120°，求菱形BCFE的面积．
19.关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
20.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
21.如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．
（部分参考数据：322=1024，522=2704，482=2304）
22.阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=，把x=，代入已知方程，
得（）2 +﹣1=0．
化简，得y2+2y﹣4=0，
故所求方程为y2+2y﹣4=0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+2x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
23.如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．
（1）若AE=2，求EC的长；
（2）若点G在DC上，且∠AGC=120°，求证：AG=EG+FG．
参考答案
1.故选C．
2.故选：A．
3.故选：B．
4.故选 C．
5.故选：B．
6.故选B．
7.答案为：1．
8.答案为：24．
9.答案为：﹣2．
10.答案为：6．
11.答案为x2+x﹣20=0．
12.答案为：．
13.①解：两边直接开平方得：x﹣1=±2，
∴x﹣1=2或x﹣1=﹣2，解得：x1=3，x2=﹣1．
②解：x2+2x﹣3=0
∴（x+3）（x﹣1）=0∴x1=1，x2=﹣3．
14.解：由题意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．
当m=5时，原方程化为x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．
所以原方程的根为x1=x2=2．
15.证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
16.证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∠ABE=∠BCF=90°，
∵∠AOF=90°，∠AOB=90°，
∴∠BAE+∠OBA=90°，
又∵∠FBC+∠OBA=90°，
∴∠BAE=∠CBF（同角的余角相等），
在△ABE和△BCF中
∴，
∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴BE=CF．
17.解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AB=AC，
∴AB=AC=BC，
即△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°，
又∵AD∥BC，
∴∠BAD=180°﹣∠B=120°．
∴∠BCD=∠BAD=120°；
（2）∵AB=AD=4cm，BE=CE，
∴BE=2cm，
∴AE===2cm．
18.（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE=EF，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵∠BEF=120°，
∴∠EBC=60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴BE=BC=CE=6，
过点E作EG⊥BC于点G，
∴EG=BE•sin60°=6×=3，
∴S菱形BCFE=BC•EG=6×3=18．
19.解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，
解得：m＜．∴m的取值范围为m＜．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，
∴x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，
∴x12+x22=﹣2x1•x2=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．
∴m的值为﹣1．
20.（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
21.解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为x米，
根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）=540
整理得：x2﹣52x+100=0解得：x1=50（舍去），x2=2
答：道路宽为2米．
22.解：（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x，所以x=﹣y，
把x=﹣y代入方程x2+2x﹣1=0，得：y2﹣2y﹣1=0，
故答案为：y2﹣2y﹣1=0；
（2）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），于是x=（y≠0），
把x=代入方程ax2+bx+c=0，得a （）2+b（）+c=0，
去分母，得 a+by+cy2=0，
若c=0，有ax2+bx=0，
于是，方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不合题意，
∴c≠0，故所求方程为a+by+cy2=0 （ c≠0）．
23.（1）解：如图，连接EF，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=2，
∵BE=DF，BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
即CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EC=EF=×2=；
（2）如图（2）②在AG上截取GH=FG，
∵∠AGC=120°，
∴∠AGF=60°，
∴△FGH是等边三角形，
∴FH=FG，∠FHG=60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠AFE=60°，
∴∠AFE=∠GFH=60°，
∴∠AFE﹣∠EFH=∠GFH﹣∠EFH，即∠AFH=∠EFG，
在△AFH和△BFG中，，
∴△AFH≌△EFG（SAS），
∴AH=GE，
∴AG=AH+GH=EG+FG，
即AG=EG+FG．
