北师大版2020年九年级数学上册 第一次月考模拟试卷一（含答案）

北师大版2020年九年级数学上册

第一次月考模拟试卷

一、选择题

1．关于x的一元二次方程（a2﹣1）x2+x﹣2=0是一元二次方程，则a满足（　　）

A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a≠±1 D．为任意实数

2．下列命题中，正确的是（　　）

A．菱形的对角线相等

B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．正方形的对角线相等且互相垂直

D．矩形的对角线不能相等

3．用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（　　）

A．（x﹣3）2= B．3（x﹣1）2= C．（3x﹣1）2=1 D．（x﹣1）2=

4．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为（　　）

A．﹣1         B．1       C．﹣2 D．2

5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（　　）

A．2 B． C． D．

6．如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（　　）

A．﹣4+4      B．4+4        C．8﹣4        D． +1

二、填空题

7．方程x2=3x的根是　   　．

8．等腰三角形两腰长分别为a，b，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为　   　．

9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是　   　．

10．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是　   　．

11．若a，b是方程x2﹣x﹣2=0的两个根，则a2+b=　   　．

12．矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且△AEP是腰长为5的等腰三角形，则DP=　   　．

三、解答题

13．解方程：

（1）2x2+x﹣2=0（用公式法）       （2）（x+3）2﹣2x（x+3）=0．

14．如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？

15．已知代数式x2﹣5x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？

16．如图正六边形ABCDEF，请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．

（1）在图1中，画出一个与正六边形的边长相等的菱形；

（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．

17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k=0．

（1）若x=1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；

（2）对于任意的实数k，判断方程根的情况，并说明理由．

18．某省为解决农村困难户住危房的问题，决定实行精准扶贫，省财政部门共投资10亿元对各市的“危房改造”予以一定比例的补助．2016年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“危房改造”，计划以后每年以相同的增长率投资，2018年该市计划投资“危房改造”864万元．

（1）求A市投资“危房改造”费用的年平均增长率；

（2）从2016年到2018年，A市三年共投资“危房改造”多少万元？

19．已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．

（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22=3x1x2，求实数p的值．

20．某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．

（1）根据图象求y与x的函数关系式；

（2）商店想在销售成本不超过3000元的情况下，使销售利润达到2400元，销售单价应定为多少？

21．如图，矩形ABCD中，点E在AD边上，过点E作AB的平行线，交BC于点F，将矩形ABFE绕着点E逆时针旋转，使点F的对应点落在边CD上，点B的对应点N落在边BC上．

（1）求证：BF=NF；

（2）已知AB=2，AE=1，求EG的长；

（3）已知∠MEF=30°，求的值．

22．在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．

（1）如图1，若AB=1，DG=2，求BH的长；

（2）如图2，连接AH，GH．

小宇观察图2，提出猜想：AH=GH，AH⊥GH．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：延长AH交EF于点M，连接AG，GM，要证明结论成立只需证△GAM是等腰直角三角形；

想法2：连接AC，GE分别交BF于点M，N，要证明结论成立只需证△AMH≌△HNG．

…

请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH，AH⊥GH．（一种方法即可）

23．在一张长方形纸片ABCD中，AB=25cm，AD=20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题．

（1）如图（1），折痕为DE，点A的对应点F在CD上，求折痕DE的长；

（2）如图（2），H，G分别为BC，AD的中点，A的对应点F在HG上，折痕为DE，求重叠部分的面积；

（3）如图（3），在图（2）中，把长方形ABCD沿着HG对开，变成两张长方形纸片，将两张纸片任意叠合后，判断重叠四边形的形状，并证明；

（4）在（3）中，重叠四边形的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，试求出来；如果不存在，试简要说明理由．

参考答案

1．故选：C．

2．故选：C．

3．故选D．

4．故选：A．

5．故选：D．

6．故选：A．

7．0或3．

8．答案为：10．

9．答案为：．

10．13．

11．答案为：3．

12．答案为：1或4或9．

13．解：（1）这里a=2，b=1，c=﹣2，

∵△=1+16=17，∴x=；

（2）分解因式得：（x+3）（x+3﹣2x）=0，解得：x1=﹣3，x2=3．

14．解：是菱形．

理由如下：∵PE⊥AB，PF⊥AD，且PE=PF，

∴AC是∠DAB的角平分线，

∴∠DAC=∠CAE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，

∴∠DCA=∠CAB，

∴∠DAC=∠DCA，

∴DA=DC，

∴平行四边形ABCD是菱形．

15．解：由题意，得x2﹣5x+7=（x﹣）2+，

∵（x﹣）2≥0，∴（x﹣）2+≥，∴（x﹣）2+＞0

∴这个代数式的值总是正数．

设代数式的值为M，则有M=x2﹣5x+7，

∴M=（x﹣）2+，∴当x=时，这个代数式的值最小为．

16．解：（1）画图如下：四边形AOEF（或四边形BCDO）即为所求；

（2）画图如下：解法一：菱形FGCH即为所求．

解法二：菱形AGDH即为所求．

17．解：x=1是关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k=0的一个根，

∴1﹣（k+2）×1+2k=0

∴k=1，

∴原方程为x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，

即：k=1，方程的另一根为x=2．

（2）∵方程x2﹣（k+2）x+2k=0，

∴△=（k+2）2﹣4×2k=k2﹣4k+4=（k﹣2）2≥0，

∴对于任意的实数k，方程有两个实数根．

18．解：（1）设A市投资“危房改造”费用的年平均增长率为x．

由题意：600（1+x）2=864，解得x=0.2或﹣2.2（舍弃），

∴x=0.2=20%，

答：设A市投资“危房改造”费用的年平均增长率为20%．

（2）由题意可得：600+600（1+20%）+864=2184（万元），

答：A市三年共投资“危房改造”2184万元

19．（1）证明：（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，x2﹣5x+6﹣p2=0，

△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=4p2+1，

∵不论p为何值，4p2+1＞0，

∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：x2﹣5x+6﹣p2=0，

根据根与系数的关系得：x1+x2=5，x1•x2=6﹣p2，

∵x12+x22=3x1x2，

∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=3x1x2，

∴25﹣2（6﹣p2）=3（6﹣p2），解得：p=±1．

20．解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，

将（40，160），（120，0）代入，

得，解得，

所以y与x的函数关系式为y=﹣2x+240（40≤x≤120）；

（2）由题意得（x﹣40）（﹣2x+240）=2400，

整理得，x2﹣160x+6000=0，解得x1=60，x2=100．

当x=60时，销售单价为60元，销售量为120千克，则成本价为40×120=4800（元），超过了3000元，不合题意，舍去；

当x=100时，销售单价为100元，销售量为40千克，则成本价为40×40=1600（元），低于3000元，符合题意．所以销售单价为100元．

答：销售单价应定为100元．

21．解：（1）连结BE，EN，如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BFE=90°，

由旋转得BE=EN，

∴BF=NF；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴BF=AE，EF=AB，

由旋转得EH=EA，

∵BF=NF，

∴EH=NF，

∵∠BFE=∠GHE=90°，∠NGF=∠HGE，

∴△NGF≌△HGE，

∴FG=GH，

设DE=x，则GF=GH=2﹣x，

由勾股定理得x2﹣（2﹣x）2=1，

解得x=，∴EG=；

（3）∵EF∥DC，

∴∠DME=∠MEF=30°，设DE=x，

∵∠D=90°，

∴ME=DC=AB=2x，DM=x，

∴MC=（2﹣）x，

∵∠NME=90°，∠DME=30°，

∴∠NMC=60°，

∴∠MNC=30°，

∴MN=2MC=2（2﹣）x，

∴BC=AD=DM+MN=2（2﹣）x+x=（5﹣2）x，

∴=．

22．（1）解：∵正方形中ABCD和正方形DEFG，

∴△ABD，△GDF为等腰直角三角形．

∵AB=1，DG=2，

∴由勾股定理得BD=，DF=2．

∵B、D、F共线，

∴BF=3．

∵H是BF的中点，

∴BH=BF=

（2）证法一：

如图1，延长AH交EF于点M，连接AG，GM，

∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，

∴AB∥EF．

∴∠ABH=∠MFH．

又∵BH=FH，∠AHB=∠MHF，

∴△ABH≌△MFH．

∴AH=MH，AB=MF．

∵AB=AD，

∴AD=MF．

∵DG=FG，∠ADG=∠MFG=90°，

∴△ADG≌△MFG．

∴∠AGD=∠MGF，AG=MG．

又∵∠DGM+∠MGF=90°，

∴∠AGD+∠DGM=90°．

∴△AGM为等腰直角三角形．

∵AH=MH，

∴AH=GH，AH⊥GH．

证法二：

如图2，连接AC，GE分别交BF于点M，N，

∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，

∴AC⊥BF，GE⊥BF，DM=BD，DN=DF．

∴∠AMD=∠GNH=90°，MN=BF．

∵H是BF的中点，

∴BH=BF．

∴BH=MN．

∴BH﹣MH=MN﹣MH．

∴BM=HN．

∵AM=BM=DM，

∴AM=HN=DM．

∴MD+DH=NH+DH．

∴MH=DN．

∵DN=GN，

∴MH=GN．

∴△AMH≌△HNG．

∴AH=GH，∠AHM=∠HGN．

∵∠HGN+∠GHN=90°，

∴∠AHM+∠GHN=90°．

∴∠AHG=90°．

∴AH⊥GH．

∴AH=GH，AH⊥GH．

23．解：（1）∵四边形ADFE是正方形，

∴DE===20（cm）

（2）∵由折叠可知DG=AD=DF，

∴在Rt△DGF中，∠GFD=30°，∠GDF=60°，

∵∠GDE=∠EDF，

∴∠EDA=30°．

∴在Rt△ADE中，tan∠EDA=，

∴AE=AD•tan30°=．

∴S△DEF=AE•AD=×20×=．

（3）重叠四边形MNPQ的形状是菱形；如图1，

证明：因纸片都是矩形，则重叠四边形的对边互相平行，

则四边形MNPQ是平行四边形．

如图1，过Q作QL⊥NP于点L，QK⊥NM于点K，

又∵QL=QK，

∴SMNPQ=PN•QL=MN•QK．

∴MN=NP，

∴四边形MNPQ的形状是菱形．

（4）当矩形纸片互相垂直时，这个菱形的周长最短是40 cm．

最大的菱形如图2所示放置时，重叠部分的菱形面积最大．

设GK=x，则HK=25﹣x．

在Rt△KHB中，x2=（25﹣x）2+102，解得x=14.5．

则菱形的最大周长为58 cm．