还剩17页未读，
继续阅读
数学九年级上册第二十三章 旋转综合与测试精品同步达标检测题
展开
这是一份数学九年级上册第二十三章 旋转综合与测试精品同步达标检测题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 对图的对称性表述，正确的是( )
A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
2. 下列说法中错误的是( )
A. 长方形、正方形、圆都是中心对称图形
B. 旋转得到的图形不一定是中心对称图形
C. 如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称
D. 在成中心对称的两个图形中，连接对应点的线段都过对称中心
3. 如图，将ΔAOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到ΔA'OB'，若∠AOB=15∘，则ΔAOB'的度数是( )
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为( )
A. 6 B. 43 C. 33 D. 3
5.如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,连接AD.下列结论一定正确的是( )
A. ∠ABD=∠E B. ∠CBE=∠C C. AD∥BC D. AD=BC
6.如图,若将△ABC绕点O逆时针旋转90°,则顶点B的对应点B1的坐标为 ( )
A. (-4,2) B. (-2,4) C. (4,-2) D. (2,-4)
7. 如图，在RtΔABC中，∠BAC=90∘，∠B=60，ΔAB'C'可以由ΔABC绕点A顺时针旋转90°得到(点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点)，连接CC'，则∠CC'B'的度数是( )
A. 45° B. 30° C. 25° D. 15°
8. 下列命题中：①若线段AB和DE关于O点成中心对称，则AB=DE；②若AB=DE，则线段AB和DE关于O点成中心对称；③若点A和点B到点O的距离相等，则点A和点B关于点O成中心对称；④如果点O是线段AB的中点，则点A和点B关于O点成中心对称.其中，真命题有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
9. 下列说法：(1)全等的两个图形成中心对称；(2)成中心对称的两个图形必须重合；(3)成中心对称的两个图形全等；(4)旋转后能够重合的两个图形成中心对称.其中正确的是______.
10. 已知点P坐标为(1，1)，将点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，则点P1的坐标为 .
11. 如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=4 cm，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为 cm2.
12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B=70°，点D在边AB上，△ABC绕点D旋转后点B与点C重合，点C落在点C′，那么∠ACC′的度数是________.
13.已知:如图,在△AOB中,∠AOB=90°,AO=3 cm,BO=4 cm,将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处,此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点,则线段B1D= cm.
14.一副三角尺按如图的位置摆放(顶点C与F重合,边CA与边FE叠合,顶点B,C,D在一条直线上)将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后(0
15.如图,在矩形ABCD中,将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后,BC的对应边B'C'交CD边于点G.连接BB',CC',若AD=7,CG=4,AB'=B'G,则CC'BB'= (结果保留根号).
16.如图,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,4),B(-1,1),C(-2,2).将△ABC向右平移4个单位,得到△A'B'C',点A,B,C的对应点分别为A',B',C',再将△A'B'C'绕点B'顺时针旋转90°,得到△A″B″C″,点A',B',C'的对应点分别为A″,B″,C″,则点A″的坐标为 .
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的,写出一种由△OCD得到△AOB的过程: .
18.如图,在△ABC中,AB=AC=23,∠BAC=120°,点D,E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为 .
19.已知抛物线y=x2-2mx-4(m>0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M',若点M'在这条抛物线上,则点M的坐标为 .
20.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'.若点B的对应点B'落在边CD上,则B'C的长为 .
21.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩形ABCD的边CD上的点G处,连接CE,则CE的长是 .
四、解答题
22. 如图，在平面直角坐标系中，ΔABC的三个顶点坐标为A(-3，4)，B(-4，2)，C(-2，1)，ΔABC绕原点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，ΔA1B1C1向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到△A2B2C2.
(1)画出ΔA1B1Cl和△A2B2C2；
(2)P(a，b)是ΔABC的AC边上一点，ΔABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1，P2，请写出点P1，P2的坐标.
23. 如图所示，在△ABC中，D是AB的中点.AC=4，BC=6.
(1)作出△CDB关于点D的中心对称图形；
(2)求CD的取值范围.
24. 如图①，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E.
(1)求证：AE=BC；
(2)如图②，过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜144°)得到ΔAE'F'，连接CE'，BF'，求证：CE'=BF'.
25. 如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H.
(1)求证：△EDC≌△HFE；
(2)连接BE，CH.
①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论.
②当AB与BC的比值为 时，四边形BEHC为菱形.
26. 正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点，连接EF.
(1)如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：
；
(2)如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点
F为旋转中心,逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想EF，EQ，BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)若点P为CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，在图3中补全
图形，并直接写出EF，EQ，BP三者之间的数量关系： .
27. 如图1，在ΔABC中，∠ACB=90°，点P为ΔABC内一点.
(1)连接PB，PC，将ΔBCP沿射线CA方向平移，得到ΔDAE，点B，C，P的对应点分别为点D,A,E，连接CE.
①依题意，请在图2中补全图形；
②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长 .
(2)如图3，以点A为旋转中心，将ΔABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA,PB,PC，当AC=3，AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.
图形旋转
参考答案
一、选择题
1. 对图的对称性表述，正确的是( )
A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【答案】B
【解析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断.故选B.
2. 下列说法中错误的是( )
A. 长方形、正方形、圆都是中心对称图形
B. 旋转得到的图形不一定是中心对称图形
C. 如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称
D. 在成中心对称的两个图形中，连接对应点的线段都过对称中心
【答案】C
【解析】当两个图形的对应点连成的线段都经过某一点并且被这一点平分时，这两个图形关于这一点成中心对称.故选C.
3. 如图，将ΔAOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到ΔA'OB'，若∠AOB=15∘，则ΔAOB'的度数是( )
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
【答案】B
【解析】将ΔAOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到ΔA'OB'，所以∠BOB'=45∘，所以∠AOB'=∠BOB'=45-15=30，故选B.
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为( )
A. 6 B. 43 C. 33 D. 3
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠CAB=30°，故AB=4，由旋转的性质可得AB=A′B′=4，AC=A′C，∴∠B′AC=∠A′=30°，又∠A′B′C=∠CAA′+∠ACB′=60°，∴∠ACB′=30°，∴∠ACB′=∠B′AC，∴AB′=B′C=2，∴AA′=2+4=6.故选A.
5.如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,连接AD.下列结论一定正确的是( )
A. ∠ABD=∠E B. ∠CBE=∠C C. AD∥BC D. AD=BC
【答案】C
【解析】由图形旋转的性质可知,∠C=∠E,∠BAC=∠BDE,∠ABC=∠DBE,
AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°,BC=BE,AC=DE,因为AB=DB,∠ABD=60°,所以△ABD为等边三角形,所以∠BAD=60°,所以∠BAD=∠CBE,根据平行线的判定定理可得AD∥BC,因为△ABC的内角度数不能确定,所以A,B,D不一定成立,故选C.
6.如图,若将△ABC绕点O逆时针旋转90°,则顶点B的对应点B1的坐标为 ( )
A. (-4,2) B. (-2,4) C. (4,-2) D. (2,-4)
【答案】B
【解析】先画出△ABC绕点O逆时针转90°得到的△A1B1C1,如图,观察图形可知,点B1的坐标为(-2,4),故选B.
7. 如图，在RtΔABC中，∠BAC=90∘，∠B=60，ΔAB'C'可以由ΔABC绕点A顺时针旋转90°得到(点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点)，连接CC'，则∠CC'B'的度数是( )
A. 45° B. 30° C. 25° D. 15°
【答案】D
【解析】∵ΔABC≌ΔAB'C'，
∴∠B=∠AB'C'，∠BCA=∠B'C'A，AC=AC'，∠BAC=∠B'AC'.
∵∠BAC=90∘，∠B=60∘.
∴∠BCA=∠B'C'A=30∘，∠B'AC'=90∘.
∵AC=AC'，∴∠CC'A=∠C'CA=45∘，
∴∠CC'B'=∠CC'A-∠B'C'A=15∘.
8. 下列命题中：①若线段AB和DE关于O点成中心对称，则AB=DE；②若AB=DE，则线段AB和DE关于O点成中心对称；③若点A和点B到点O的距离相等，则点A和点B关于点O成中心对称；④如果点O是线段AB的中点，则点A和点B关于O点成中心对称.其中，真命题有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】①④是真命题.故选B.
二、填空题
9. 下列说法：(1)全等的两个图形成中心对称；(2)成中心对称的两个图形必须重合；(3)成中心对称的两个图形全等；(4)旋转后能够重合的两个图形成中心对称.其中正确的是______.
【答案】(3)
【解析】由中心对称的定义知，全等的两个图形不一定成中心对称，故(1)错；成中心对称的两个图形旋转180°后能重合，但未旋转时它们不是必须重合的，故(2)错；旋转后能重合的两个图形，也不一定成中心对称，关键是要旋转180°后能重合，故(4)错；由中心对称的性质知(3)正确.
10. 已知点P坐标为(1，1)，将点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，则点P1的坐标为 .
【答案】(0,2)
【解析】由题意得线段OP的长为2，根据旋转中心为原点，旋转方向为逆时针，旋转角度45°，从而得P1点坐标为(0,2).
11. 如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=4 cm，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为 cm2.
【答案】42
【解析】AC与BA′相交于D，如图，
∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，∴∠ABA′=45°，BA=BA′=4，△ABC≌△A′BC′，∴S△ABC=S△A′BC′，∵S四边形AA′C′B=S△ABC+S阴影部分=S△A′BC′+S△ABA′，
∴S阴影部分=S△ABA′，∵∠BAC=∠ABA′=45°，∴∠ADB=90°，△ADB为等腰直角三角形，
∴AD=22AB=22，∴S△ABA′=12AD∙BA′=12×22×4=42(cm2)，∴S阴影部分=42cm2.
12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B=70°，点D在边AB上，△ABC绕点D旋转后点B与点C重合，点C落在点C′，那么∠ACC′的度数是________.
【答案】50°
【解析】由旋转可知，∠C′CA′=70°=∠B,∵旋转后B ，C重合，∴CD=BD,∵∠B=70°, ∴∠DCB=70°,∴∠ACA′=∠ACB-∠DCB=20°,∴∠C′CA=∠C′CA′-∠ACA′=70°-20°=50°.
13.已知:如图,在△AOB中,∠AOB=90°,AO=3 cm,BO=4 cm,将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处,此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点,则线段B1D= cm.
【答案】1.5
【解析】由旋转的性质可得OB=OB1=4 cm,根据勾股定理可得AB= 5 cm,又直角三角形斜边上的中线是斜边的一半,所以OD=2.5 cm,DB1=OB1-OD=4-2.5=1.5 cm.
14.一副三角尺按如图的位置摆放(顶点C与F重合,边CA与边FE叠合,顶点B,C,D在一条直线上)将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后(0
【答案】45
【解析】因为两直线平行内错角相等,所以根据EF∥AB,得出∠EFA=∠A=45°,故n的值为45°.
15.如图,在矩形ABCD中,将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后,BC的对应边B'C'交CD边于点G.连接BB',CC',若AD=7,CG=4,AB'=B'G,则CC'BB'= (结果保留根号).
【答案】745
【解析】连接AC,AG,AC',根据旋转的性质可得∠BAB'=∠CAC',∠AB'C'=90°,AC=AC',∴ACAB=AC'AB'，∴△ACC'∽ABB',∴CC'BB'=ACAB,设AB=AB'=x,则AG=2x,DG=x-4,在Rt△ADG中,根据勾股定理可得72+(x-4)2=(2x)2,解得x=5或x=-13(舍),∴AB=5,∴AC=AB2+BC2=52+72=74,∴CC'BB'=ACAB=745.
16.如图,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,4),B(-1,1),C(-2,2).将△ABC向右平移4个单位,得到△A'B'C',点A,B,C的对应点分别为A',B',C',再将△A'B'C'绕点B'顺时针旋转90°,得到△A″B″C″,点A',B',C'的对应点分别为A″,B″,C″,则点A″的坐标为 .
【答案】(6,0)
【解析】如图所示,将△ABC向右平移4个单位,得到△A'B'C',∵A(0,4),B(-1,1),C(-2,2),∴A',B',C'的坐标分别为(4,4),B(3,1),C(2,2),再将△A'B'C'绕点B'顺时针旋转90°,得到△A″B″C″,∵点A'(4,4),由旋转的性质可知点A″的坐标为 (6,0).
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的,写出一种由△OCD得到△AOB的过程: .
【答案】△OCD绕C顺时针点旋转90°,并向左平移2个单位(答案不唯一)
【解析】根据平移和旋转的性质可得△OCD绕C点顺时针旋转90°,并向左平移2个单位即可得到△AOB.
18.如图,在△ABC中,AB=AC=23,∠BAC=120°,点D,E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为 .
【答案】33-3
【解析】解法一:由题易求得BC=6,如图,
将△ABD沿AD翻折得△AFD,
易知∠BAD+∠EAC=60°,又∠DAF+∠FAE=60°,∠BAD=∠DAF,∴∠EAC=∠EAF,又AB=AC,AB=AF,∴AF=AC,∴△ACE≌△AFE,
∴BD=DF,CE=EF,
∠AFD=∠B=30°,∠AFE=∠C=30°,
∴∠DFE=60°,
作EH⊥DF于H,设BD=2CE=4x,
则EF=2x,DF=4x,FH=x,EH=3x,
DE2=DH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(3x)2,
解得:x1=3-32,x2=3+32(舍去),
∴DE=6-6x=33-3.
解法二:将△ABD绕点A逆时针旋转120°得△ACF,可证△ADE≌△AFE,DE=EF,CF=BD,
∠ACD=∠B=30°,∠FCE=60°,
作EM⊥CF于M,设BD=2CE=4x,
则CM=x,CF=4x,FM=3x,EM=3x,
FE2=FM2+EM2,(6-6x)2=(3x)2+(3x)2,
解得:x1=3-32,x2=3+32(舍去),
∴DE=6-6x=33-3.
19.已知抛物线y=x2-2mx-4(m>0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M',若点M'在这条抛物线上,则点M的坐标为 .
【答案】(2,-8)
【解析】抛物线y=x2-2mx-4的顶点M的坐标为(m,-m2-4),则顶点M关于坐标原点O的对称点M'坐标为(-m,m2+4),把(-m,m2+4)代入y=x2-2mx-4得m2+4=m2+2m2-4,解得m=±2,因为m>0,所以m=2,所以顶点M的坐标为(2,-8).
20.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'.若点B的对应点B'落在边CD上,则B'C的长为 .
【答案】1
【解析】由旋转的性质可知AB'=AB=5,由矩形的性质得∠D=90°, DC=AB=5,在Rt△ADB'中,
由勾股定理得DB'=B'A2-AD2=52-32=4,∴B'C=DC-DB'=5-4=1.
21.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩形ABCD的边CD上的点G处,连接CE,则CE的长是 .
【答案】3105
【解析】如图,过点C作MN⊥BG,分别交BG,EF于点M,N,根据旋转可得AB=BG=EF=CD=5,BC=BE=3,在Rt△BCG中,根据勾股定理求得CG=4,再由S△BCG=12BC·CG=12BG·CM求得CM=125,在Rt△BCM中,根据勾股定理得BM=BC2-CM2=32-1252=95,根据已知条件和辅助线作法易知四边形BENM为矩形,根据矩形的性质可得BE=MN=3,BM=EN=95,所以CN=MN-CM=3-125=35,在Rt△ECN中,根据勾股定理求得EC=CN2+EN2=352+952=9025=3105.
四、解答题
22. 如图，在平面直角坐标系中，ΔABC的三个顶点坐标为A(-3，4)，B(-4，2)，C(-2，1)，ΔABC绕原点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，ΔA1B1C1向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到△A2B2C2.
(1)画出ΔA1B1Cl和△A2B2C2；
【答案】如图所示：
(2)P(a，b)是ΔABC的AC边上一点，ΔABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1，P2，请写出点P1，P2的坐标.
【答案】P1 (b，-a), P2(b-2，-a-5).
23. 如图所示，在△ABC中，D是AB的中点.AC=4，BC=6.
(1)作出△CDB关于点D的中心对称图形；
【答案】如图所示，△CDB关于点D的中心对称图形是△EDA.
(2)求CD的取值范围.
【答案】由中心对称的性质得CD=DE，BC=AE.在△EAC中，AC+AE＞CE，AE-AC＜CE，由于AC=4，BC=AE=6，所以2＜CE＜10.所以1＜CD＜5.
24. 如图①，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E.
(1)求证：AE=BC；
【答案】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°.
又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴∠ABE=∠A，∠BEC=180°-∠C-∠CBE=72°，∴AE=BE，∠BEC=∠C，
∴BE=BC，∴AE=BC.
(2)如图②，过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜144°)得到ΔAE'F'，连接CE'，BF'，求证：CE'=BF'.
【答案】∵ AC=AB且EF∥BC，∴AE=AF.
由旋转的性质可知∠E'AC=∠F'AB，AE'=AF'，在ΔCAE'和ΔBAF'中，
{AC=AB,∠E'AC=∠F'AB,AE'=AF',
∴ΔCAE'≌ΔBAF'，∴CE'=BF'.
25. 如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H.
(1)求证：△EDC≌△HFE；
【答案】∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到，
∴AB＝DC＝FE，∠EDC=∠F=90°，
又∵FH∥EC，∴∠CED=∠FHE，
∴△EDC≌△HFE(AAS).
(2)连接BE，CH.
①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论.
②当AB与BC的比值为 时，四边形BEHC为菱形.
【答案】①四边形BEHC为平行四边形.
∵△EDC≌△HFE，∴EC＝EH，
∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到，
∴EH＝EC＝BC，EH∥BC，
∴四边形BEHC为平行四边形.
②由旋转得BC=CE，
∵四边形BEHC是菱形，
∴BE=BC，
∴BE=BC=CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠CBE=60°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°.
∴cs∠ABE=cs 30°=ABBE=ABBC=32，
∴当AB和BC的比值为32时,四边形BEHC为菱形.
26. 正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点，连接EF.
(1)如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：
；
【答案】垂直且相等.
(2)如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点
F为旋转中心,逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想EF，EQ，BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；
【答案】EF，EQ，BP三者之间的数量关系为：EF=2(BP-EQ).
证明如下：如图，取BC的中点G，连接FG，
由第1问得EF=FG，EF⊥FG，
根据旋转的性质，FP=FQ，∠PFQ =90°.
∴∠GFP=∠GFE-∠EFP=90°-∠EFP，∠EFQ=∠PFQ-∠EFP=90°-∠EFP.
∴∠GFP=∠EFQ.
在△FQE和△FPG中， EF=GF，∠EFQ=∠GFP，FQ = FP，
∴△FQE≌△FPG(SAS)，∴EQ=GP.
∴EF=GF=2BG=2(BP-GP)=2(BP-EQ).
(3)若点P为CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，在图3中补全
图形，并直接写出EF，EQ，BP三者之间的数量关系： .
【答案】补图如下，F，EQ，BP三者之间的数量关系为：EF=2(EQ-BP).
27. 如图1，在ΔABC中，∠ACB=90°，点P为ΔABC内一点.
(1)连接PB，PC，将ΔBCP沿射线CA方向平移，得到ΔDAE，点B，C，P的对应点分别为点D,A,E，连接CE.
①依题意，请在图2中补全图形；
②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长
【答案】①补全图形如图所示；
②如图，连接BD,CD，如图所示：
∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，
∴BC∥AD且BC=AD，
∵∠ACB=90°，
∴四边形BCAD是矩形，
∴CD=AB=6，
∵BP=3，
∴DE=BP=3，
∵BP⊥CE，BP∥DE，
∴DE⊥CE，
∴在Rt△DCE中， CE=CD2-DE2=36-9=27=33.
(2)如图3，以点A为旋转中心，将ΔABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA,PB,PC，当AC=3，AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.
【答案】证明：如图，当C,P,M,N四点共线时，PA+PB+PC最小，
由旋转可得，△AMN≌△APB，
∴PB=MN，
易得△APM,△ABN都是等边三角形，
∴PA=PM，
∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，
∴BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60°，
∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°，
∴∠CBN=90°，
在Rt△ABC中，易得BC=AB2-AC2=62-32=33，
∴在Rt△BCN中，CN=BC2+BN2=27+36=63=37.
一、选择题
1. 对图的对称性表述，正确的是( )
A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
2. 下列说法中错误的是( )
A. 长方形、正方形、圆都是中心对称图形
B. 旋转得到的图形不一定是中心对称图形
C. 如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称
D. 在成中心对称的两个图形中，连接对应点的线段都过对称中心
3. 如图，将ΔAOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到ΔA'OB'，若∠AOB=15∘，则ΔAOB'的度数是( )
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为( )
A. 6 B. 43 C. 33 D. 3
5.如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,连接AD.下列结论一定正确的是( )
A. ∠ABD=∠E B. ∠CBE=∠C C. AD∥BC D. AD=BC
6.如图,若将△ABC绕点O逆时针旋转90°,则顶点B的对应点B1的坐标为 ( )
A. (-4,2) B. (-2,4) C. (4,-2) D. (2,-4)
7. 如图，在RtΔABC中，∠BAC=90∘，∠B=60，ΔAB'C'可以由ΔABC绕点A顺时针旋转90°得到(点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点)，连接CC'，则∠CC'B'的度数是( )
A. 45° B. 30° C. 25° D. 15°
8. 下列命题中：①若线段AB和DE关于O点成中心对称，则AB=DE；②若AB=DE，则线段AB和DE关于O点成中心对称；③若点A和点B到点O的距离相等，则点A和点B关于点O成中心对称；④如果点O是线段AB的中点，则点A和点B关于O点成中心对称.其中，真命题有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
9. 下列说法：(1)全等的两个图形成中心对称；(2)成中心对称的两个图形必须重合；(3)成中心对称的两个图形全等；(4)旋转后能够重合的两个图形成中心对称.其中正确的是______.
10. 已知点P坐标为(1，1)，将点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，则点P1的坐标为 .
11. 如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=4 cm，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为 cm2.
12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B=70°，点D在边AB上，△ABC绕点D旋转后点B与点C重合，点C落在点C′，那么∠ACC′的度数是________.
13.已知:如图,在△AOB中,∠AOB=90°,AO=3 cm,BO=4 cm,将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处,此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点,则线段B1D= cm.
14.一副三角尺按如图的位置摆放(顶点C与F重合,边CA与边FE叠合,顶点B,C,D在一条直线上)将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后(0
15.如图,在矩形ABCD中,将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后,BC的对应边B'C'交CD边于点G.连接BB',CC',若AD=7,CG=4,AB'=B'G,则CC'BB'= (结果保留根号).
16.如图,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,4),B(-1,1),C(-2,2).将△ABC向右平移4个单位,得到△A'B'C',点A,B,C的对应点分别为A',B',C',再将△A'B'C'绕点B'顺时针旋转90°,得到△A″B″C″,点A',B',C'的对应点分别为A″,B″,C″,则点A″的坐标为 .
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的,写出一种由△OCD得到△AOB的过程: .
18.如图,在△ABC中,AB=AC=23,∠BAC=120°,点D,E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为 .
19.已知抛物线y=x2-2mx-4(m>0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M',若点M'在这条抛物线上,则点M的坐标为 .
20.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'.若点B的对应点B'落在边CD上,则B'C的长为 .
21.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩形ABCD的边CD上的点G处,连接CE,则CE的长是 .
四、解答题
22. 如图，在平面直角坐标系中，ΔABC的三个顶点坐标为A(-3，4)，B(-4，2)，C(-2，1)，ΔABC绕原点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，ΔA1B1C1向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到△A2B2C2.
(1)画出ΔA1B1Cl和△A2B2C2；
(2)P(a，b)是ΔABC的AC边上一点，ΔABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1，P2，请写出点P1，P2的坐标.
23. 如图所示，在△ABC中，D是AB的中点.AC=4，BC=6.
(1)作出△CDB关于点D的中心对称图形；
(2)求CD的取值范围.
24. 如图①，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E.
(1)求证：AE=BC；
(2)如图②，过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜144°)得到ΔAE'F'，连接CE'，BF'，求证：CE'=BF'.
25. 如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H.
(1)求证：△EDC≌△HFE；
(2)连接BE，CH.
①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论.
②当AB与BC的比值为 时，四边形BEHC为菱形.
26. 正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点，连接EF.
(1)如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：
；
(2)如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点
F为旋转中心,逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想EF，EQ，BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)若点P为CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，在图3中补全
图形，并直接写出EF，EQ，BP三者之间的数量关系： .
27. 如图1，在ΔABC中，∠ACB=90°，点P为ΔABC内一点.
(1)连接PB，PC，将ΔBCP沿射线CA方向平移，得到ΔDAE，点B，C，P的对应点分别为点D,A,E，连接CE.
①依题意，请在图2中补全图形；
②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长 .
(2)如图3，以点A为旋转中心，将ΔABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA,PB,PC，当AC=3，AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.
图形旋转
参考答案
一、选择题
1. 对图的对称性表述，正确的是( )
A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【答案】B
【解析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断.故选B.
2. 下列说法中错误的是( )
A. 长方形、正方形、圆都是中心对称图形
B. 旋转得到的图形不一定是中心对称图形
C. 如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称
D. 在成中心对称的两个图形中，连接对应点的线段都过对称中心
【答案】C
【解析】当两个图形的对应点连成的线段都经过某一点并且被这一点平分时，这两个图形关于这一点成中心对称.故选C.
3. 如图，将ΔAOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到ΔA'OB'，若∠AOB=15∘，则ΔAOB'的度数是( )
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
【答案】B
【解析】将ΔAOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到ΔA'OB'，所以∠BOB'=45∘，所以∠AOB'=∠BOB'=45-15=30，故选B.
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为( )
A. 6 B. 43 C. 33 D. 3
【答案】A
【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠CAB=30°，故AB=4，由旋转的性质可得AB=A′B′=4，AC=A′C，∴∠B′AC=∠A′=30°，又∠A′B′C=∠CAA′+∠ACB′=60°，∴∠ACB′=30°，∴∠ACB′=∠B′AC，∴AB′=B′C=2，∴AA′=2+4=6.故选A.
5.如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,连接AD.下列结论一定正确的是( )
A. ∠ABD=∠E B. ∠CBE=∠C C. AD∥BC D. AD=BC
【答案】C
【解析】由图形旋转的性质可知,∠C=∠E,∠BAC=∠BDE,∠ABC=∠DBE,
AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°,BC=BE,AC=DE,因为AB=DB,∠ABD=60°,所以△ABD为等边三角形,所以∠BAD=60°,所以∠BAD=∠CBE,根据平行线的判定定理可得AD∥BC,因为△ABC的内角度数不能确定,所以A,B,D不一定成立,故选C.
6.如图,若将△ABC绕点O逆时针旋转90°,则顶点B的对应点B1的坐标为 ( )
A. (-4,2) B. (-2,4) C. (4,-2) D. (2,-4)
【答案】B
【解析】先画出△ABC绕点O逆时针转90°得到的△A1B1C1,如图,观察图形可知,点B1的坐标为(-2,4),故选B.
7. 如图，在RtΔABC中，∠BAC=90∘，∠B=60，ΔAB'C'可以由ΔABC绕点A顺时针旋转90°得到(点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点)，连接CC'，则∠CC'B'的度数是( )
A. 45° B. 30° C. 25° D. 15°
【答案】D
【解析】∵ΔABC≌ΔAB'C'，
∴∠B=∠AB'C'，∠BCA=∠B'C'A，AC=AC'，∠BAC=∠B'AC'.
∵∠BAC=90∘，∠B=60∘.
∴∠BCA=∠B'C'A=30∘，∠B'AC'=90∘.
∵AC=AC'，∴∠CC'A=∠C'CA=45∘，
∴∠CC'B'=∠CC'A-∠B'C'A=15∘.
8. 下列命题中：①若线段AB和DE关于O点成中心对称，则AB=DE；②若AB=DE，则线段AB和DE关于O点成中心对称；③若点A和点B到点O的距离相等，则点A和点B关于点O成中心对称；④如果点O是线段AB的中点，则点A和点B关于O点成中心对称.其中，真命题有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】①④是真命题.故选B.
二、填空题
9. 下列说法：(1)全等的两个图形成中心对称；(2)成中心对称的两个图形必须重合；(3)成中心对称的两个图形全等；(4)旋转后能够重合的两个图形成中心对称.其中正确的是______.
【答案】(3)
【解析】由中心对称的定义知，全等的两个图形不一定成中心对称，故(1)错；成中心对称的两个图形旋转180°后能重合，但未旋转时它们不是必须重合的，故(2)错；旋转后能重合的两个图形，也不一定成中心对称，关键是要旋转180°后能重合，故(4)错；由中心对称的性质知(3)正确.
10. 已知点P坐标为(1，1)，将点P绕原点逆时针旋转45°得点P1，则点P1的坐标为 .
【答案】(0,2)
【解析】由题意得线段OP的长为2，根据旋转中心为原点，旋转方向为逆时针，旋转角度45°，从而得P1点坐标为(0,2).
11. 如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=4 cm，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为 cm2.
【答案】42
【解析】AC与BA′相交于D，如图，
∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，∴∠ABA′=45°，BA=BA′=4，△ABC≌△A′BC′，∴S△ABC=S△A′BC′，∵S四边形AA′C′B=S△ABC+S阴影部分=S△A′BC′+S△ABA′，
∴S阴影部分=S△ABA′，∵∠BAC=∠ABA′=45°，∴∠ADB=90°，△ADB为等腰直角三角形，
∴AD=22AB=22，∴S△ABA′=12AD∙BA′=12×22×4=42(cm2)，∴S阴影部分=42cm2.
12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B=70°，点D在边AB上，△ABC绕点D旋转后点B与点C重合，点C落在点C′，那么∠ACC′的度数是________.
【答案】50°
【解析】由旋转可知，∠C′CA′=70°=∠B,∵旋转后B ，C重合，∴CD=BD,∵∠B=70°, ∴∠DCB=70°,∴∠ACA′=∠ACB-∠DCB=20°,∴∠C′CA=∠C′CA′-∠ACA′=70°-20°=50°.
13.已知:如图,在△AOB中,∠AOB=90°,AO=3 cm,BO=4 cm,将△AOB绕顶点O按顺时针方向旋转到△A1OB1处,此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点,则线段B1D= cm.
【答案】1.5
【解析】由旋转的性质可得OB=OB1=4 cm,根据勾股定理可得AB= 5 cm,又直角三角形斜边上的中线是斜边的一半,所以OD=2.5 cm,DB1=OB1-OD=4-2.5=1.5 cm.
14.一副三角尺按如图的位置摆放(顶点C与F重合,边CA与边FE叠合,顶点B,C,D在一条直线上)将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后(0
【答案】45
【解析】因为两直线平行内错角相等,所以根据EF∥AB,得出∠EFA=∠A=45°,故n的值为45°.
15.如图,在矩形ABCD中,将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后,BC的对应边B'C'交CD边于点G.连接BB',CC',若AD=7,CG=4,AB'=B'G,则CC'BB'= (结果保留根号).
【答案】745
【解析】连接AC,AG,AC',根据旋转的性质可得∠BAB'=∠CAC',∠AB'C'=90°,AC=AC',∴ACAB=AC'AB'，∴△ACC'∽ABB',∴CC'BB'=ACAB,设AB=AB'=x,则AG=2x,DG=x-4,在Rt△ADG中,根据勾股定理可得72+(x-4)2=(2x)2,解得x=5或x=-13(舍),∴AB=5,∴AC=AB2+BC2=52+72=74,∴CC'BB'=ACAB=745.
16.如图,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,4),B(-1,1),C(-2,2).将△ABC向右平移4个单位,得到△A'B'C',点A,B,C的对应点分别为A',B',C',再将△A'B'C'绕点B'顺时针旋转90°,得到△A″B″C″,点A',B',C'的对应点分别为A″,B″,C″,则点A″的坐标为 .
【答案】(6,0)
【解析】如图所示,将△ABC向右平移4个单位,得到△A'B'C',∵A(0,4),B(-1,1),C(-2,2),∴A',B',C'的坐标分别为(4,4),B(3,1),C(2,2),再将△A'B'C'绕点B'顺时针旋转90°,得到△A″B″C″,∵点A'(4,4),由旋转的性质可知点A″的坐标为 (6,0).
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的,写出一种由△OCD得到△AOB的过程: .
【答案】△OCD绕C顺时针点旋转90°,并向左平移2个单位(答案不唯一)
【解析】根据平移和旋转的性质可得△OCD绕C点顺时针旋转90°,并向左平移2个单位即可得到△AOB.
18.如图,在△ABC中,AB=AC=23,∠BAC=120°,点D,E都在边BC上,∠DAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为 .
【答案】33-3
【解析】解法一:由题易求得BC=6,如图,
将△ABD沿AD翻折得△AFD,
易知∠BAD+∠EAC=60°,又∠DAF+∠FAE=60°,∠BAD=∠DAF,∴∠EAC=∠EAF,又AB=AC,AB=AF,∴AF=AC,∴△ACE≌△AFE,
∴BD=DF,CE=EF,
∠AFD=∠B=30°,∠AFE=∠C=30°,
∴∠DFE=60°,
作EH⊥DF于H,设BD=2CE=4x,
则EF=2x,DF=4x,FH=x,EH=3x,
DE2=DH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(3x)2,
解得:x1=3-32,x2=3+32(舍去),
∴DE=6-6x=33-3.
解法二:将△ABD绕点A逆时针旋转120°得△ACF,可证△ADE≌△AFE,DE=EF,CF=BD,
∠ACD=∠B=30°,∠FCE=60°,
作EM⊥CF于M,设BD=2CE=4x,
则CM=x,CF=4x,FM=3x,EM=3x,
FE2=FM2+EM2,(6-6x)2=(3x)2+(3x)2,
解得:x1=3-32,x2=3+32(舍去),
∴DE=6-6x=33-3.
19.已知抛物线y=x2-2mx-4(m>0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M',若点M'在这条抛物线上,则点M的坐标为 .
【答案】(2,-8)
【解析】抛物线y=x2-2mx-4的顶点M的坐标为(m,-m2-4),则顶点M关于坐标原点O的对称点M'坐标为(-m,m2+4),把(-m,m2+4)代入y=x2-2mx-4得m2+4=m2+2m2-4,解得m=±2,因为m>0,所以m=2,所以顶点M的坐标为(2,-8).
20.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'.若点B的对应点B'落在边CD上,则B'C的长为 .
【答案】1
【解析】由旋转的性质可知AB'=AB=5,由矩形的性质得∠D=90°, DC=AB=5,在Rt△ADB'中,
由勾股定理得DB'=B'A2-AD2=52-32=4,∴B'C=DC-DB'=5-4=1.
21.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,点A落在矩形ABCD的边CD上的点G处,连接CE,则CE的长是 .
【答案】3105
【解析】如图,过点C作MN⊥BG,分别交BG,EF于点M,N,根据旋转可得AB=BG=EF=CD=5,BC=BE=3,在Rt△BCG中,根据勾股定理求得CG=4,再由S△BCG=12BC·CG=12BG·CM求得CM=125,在Rt△BCM中,根据勾股定理得BM=BC2-CM2=32-1252=95,根据已知条件和辅助线作法易知四边形BENM为矩形,根据矩形的性质可得BE=MN=3,BM=EN=95,所以CN=MN-CM=3-125=35,在Rt△ECN中,根据勾股定理求得EC=CN2+EN2=352+952=9025=3105.
四、解答题
22. 如图，在平面直角坐标系中，ΔABC的三个顶点坐标为A(-3，4)，B(-4，2)，C(-2，1)，ΔABC绕原点顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，ΔA1B1C1向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到△A2B2C2.
(1)画出ΔA1B1Cl和△A2B2C2；
【答案】如图所示：
(2)P(a，b)是ΔABC的AC边上一点，ΔABC经旋转、平移后点P的对应点分别为P1，P2，请写出点P1，P2的坐标.
【答案】P1 (b，-a), P2(b-2，-a-5).
23. 如图所示，在△ABC中，D是AB的中点.AC=4，BC=6.
(1)作出△CDB关于点D的中心对称图形；
【答案】如图所示，△CDB关于点D的中心对称图形是△EDA.
(2)求CD的取值范围.
【答案】由中心对称的性质得CD=DE，BC=AE.在△EAC中，AC+AE＞CE，AE-AC＜CE，由于AC=4，BC=AE=6，所以2＜CE＜10.所以1＜CD＜5.
24. 如图①，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E.
(1)求证：AE=BC；
【答案】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°.
又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴∠ABE=∠A，∠BEC=180°-∠C-∠CBE=72°，∴AE=BE，∠BEC=∠C，
∴BE=BC，∴AE=BC.
(2)如图②，过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜144°)得到ΔAE'F'，连接CE'，BF'，求证：CE'=BF'.
【答案】∵ AC=AB且EF∥BC，∴AE=AF.
由旋转的性质可知∠E'AC=∠F'AB，AE'=AF'，在ΔCAE'和ΔBAF'中，
{AC=AB,∠E'AC=∠F'AB,AE'=AF',
∴ΔCAE'≌ΔBAF'，∴CE'=BF'.
25. 如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H.
(1)求证：△EDC≌△HFE；
【答案】∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到，
∴AB＝DC＝FE，∠EDC=∠F=90°，
又∵FH∥EC，∴∠CED=∠FHE，
∴△EDC≌△HFE(AAS).
(2)连接BE，CH.
①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论.
②当AB与BC的比值为 时，四边形BEHC为菱形.
【答案】①四边形BEHC为平行四边形.
∵△EDC≌△HFE，∴EC＝EH，
∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到，
∴EH＝EC＝BC，EH∥BC，
∴四边形BEHC为平行四边形.
②由旋转得BC=CE，
∵四边形BEHC是菱形，
∴BE=BC，
∴BE=BC=CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠CBE=60°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°.
∴cs∠ABE=cs 30°=ABBE=ABBC=32，
∴当AB和BC的比值为32时,四边形BEHC为菱形.
26. 正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点，连接EF.
(1)如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：
；
【答案】垂直且相等.
(2)如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点
F为旋转中心,逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想EF，EQ，BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；
【答案】EF，EQ，BP三者之间的数量关系为：EF=2(BP-EQ).
证明如下：如图，取BC的中点G，连接FG，
由第1问得EF=FG，EF⊥FG，
根据旋转的性质，FP=FQ，∠PFQ =90°.
∴∠GFP=∠GFE-∠EFP=90°-∠EFP，∠EFQ=∠PFQ-∠EFP=90°-∠EFP.
∴∠GFP=∠EFQ.
在△FQE和△FPG中， EF=GF，∠EFQ=∠GFP，FQ = FP，
∴△FQE≌△FPG(SAS)，∴EQ=GP.
∴EF=GF=2BG=2(BP-GP)=2(BP-EQ).
(3)若点P为CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，在图3中补全
图形，并直接写出EF，EQ，BP三者之间的数量关系： .
【答案】补图如下，F，EQ，BP三者之间的数量关系为：EF=2(EQ-BP).
27. 如图1，在ΔABC中，∠ACB=90°，点P为ΔABC内一点.
(1)连接PB，PC，将ΔBCP沿射线CA方向平移，得到ΔDAE，点B，C，P的对应点分别为点D,A,E，连接CE.
①依题意，请在图2中补全图形；
②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长
【答案】①补全图形如图所示；
②如图，连接BD,CD，如图所示：
∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，
∴BC∥AD且BC=AD，
∵∠ACB=90°，
∴四边形BCAD是矩形，
∴CD=AB=6，
∵BP=3，
∴DE=BP=3，
∵BP⊥CE，BP∥DE，
∴DE⊥CE，
∴在Rt△DCE中， CE=CD2-DE2=36-9=27=33.
(2)如图3，以点A为旋转中心，将ΔABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接PA,PB,PC，当AC=3，AB=6时，根据此图求PA+PB+PC的最小值.
【答案】证明：如图，当C,P,M,N四点共线时，PA+PB+PC最小，
由旋转可得，△AMN≌△APB，
∴PB=MN，
易得△APM,△ABN都是等边三角形，
∴PA=PM，
∴PA+PB+PC=PM+MN+PC=CN，
∴BN=AB=6，∠BNA=60°，∠PAM=60°，
∴∠CAN=∠CAB+∠BAN=60°+60°=120°，
∴∠CBN=90°，
在Rt△ABC中，易得BC=AB2-AC2=62-32=33，
∴在Rt△BCN中，CN=BC2+BN2=27+36=63=37.
相关试卷
人教版九年级上册23.1 图形的旋转第1课时当堂达标检测题： 这是一份人教版九年级上册23.1 图形的旋转第1课时当堂达标检测题，共7页。试卷主要包含了能力提升，创新应用等内容，欢迎下载使用。
数学九年级上册23.1 图形的旋转课时练习： 这是一份数学九年级上册23.1 图形的旋转课时练习，共26页。试卷主要包含了旋转的性质；2等内容，欢迎下载使用。
人教版九年级上册23.1 图形的旋转当堂达标检测题： 这是一份人教版九年级上册23.1 图形的旋转当堂达标检测题，共9页。
