人教版九年级数学上册第二十三章《旋转》教案

这是一份人教版九年级数学上册第二十三章《旋转》教案，共34页。

第二十三章 旋转
23.1图形的旋转
第1课时 旋转的概念及性质

1.通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质.
2.在发现、探索的过程中完成对旋转这一图形变化从直观到抽象、从感性认识到理性认识的转变，发展学生直观想象能力，分析、归纳，抽象概括的思维能力.
3.学生在实验探究、知识应用等数学活动中，能体验数学的具体、生动、灵活，增强数学应用意识，调动学生学习数学的主动性.
【教学重点】
归纳图形的旋转特征.
【教学难点】
旋转概念的形成过程及性质的探究过程.

一、情境导入，初步认识
问题1 以前我们学过图形的平移、轴对称等变换，它们有哪些特征呢？想想看，并与同伴交流.
问题2 请观察下列图形的变化（教师展示实物或图片或用课件展示）：
（1）时钟针面上时针的转动（顺时针方向旋转和逆时针方向转动）；
（2）风车的转动；
（3）电扇上扇叶的转动；
（4）小朋友荡秋千；
（5）汽车雨刷的转动；
以上图形的转动有什么共同特点呢？你还能举出这样类似的生活中的情境吗？
【教学说明】问题1的回顾，可让学生感受到现实生活中存在着平移，轴对称变换，结合问题2，可进一步感受生活中存在着旋转变换，增强探究欲望，进而导入新课.对于问题2，应鼓励学生通过观察、思考、讨论，用自己的语言来描述这个现象的共同特征，初步感受到旋转的基本性质是绕某一固定点转动一定的角度.
二、思考探究，获取新知
探究1 如图，用一根细线一端拴住小球，另一端固定在支架上（教师事先准备好实物），当小球绕点O由A摆动至B，由B摆动至A的过程中，试问：小球绕着哪个点转动？它们转动方向如何？转动的角度是哪个角？

探究2 如图，用一根较长细线系住木棒AB的两端，再将细线固定于支架上的点O（教师事先准备好实物），再将木棒提取使之自然摆动至A′B′位置.试问：在转动过程中，木棒AB绕着哪一点在转动？木棒AB的长度发生了变化吗？A和A′到点O的距离发生了变化吗？B和B′点呢？由此你能发现哪些重要结论？

【教学说明】
1.在演示探究2中，应将细线缠绕在支架上点O处，使之不能滑动.
2.引导学生认真观察，独立思考过程中，教师可适时予以点拨，从而引出旋转的相关定义，并初步感受旋转的性质，最后师生共同总结.
旋转：把一个平面图形绕着平面内某一个点（如点O）旋转一个角度，就叫做图形的旋转.点O称为旋转中心，转动的角度称为旋转角.（注意突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转角和旋转方向）
对应点：如果图形上的点P经过旋转变为P′，则这两个点叫做这个旋转的对应点.
对应线段：如果图形上的线段AB经过旋转变为线段A′B′，则这两条线段称为对应线段，同样地，如果图形上的一个角∠A经过旋转后变为∠A′，则∠A和∠A′称为对应角.
对应点和旋转中心之间的夹角称为旋转角.
【教学说明】给出相关概念过程中，教师可结合图形让学生明确旋转中的对应点、对应角、对应线段、旋转中心等，及时巩固旋转及其相关概念，同时简要说出一些简单的旋转性质，为后面探索旋转的性质作铺垫.
探究3 如图，在硬纸片上，挖一个三角形ABC，再挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面再放一张白纸，先在纸上描出这个挖掉的三角形（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△DEF），移开硬纸板.

试问：在旋转的过程中，线段OA与线段OD的大小关系如何？∠AOD与∠BOE及∠COF有什么关系？旋转前后三角形的形状和大小发生了改变吗？
【归纳结论】
旋转的性质：
1.对应点到旋转中心的距离相等；
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
3.旋转前后图形的形状、大小完全相同，即它们是全等的.
三、运用新知，深化理解
1.将图形绕点O旋转，且图形上点P、Q旋转后的对应点分别为P′、Q′，若∠POP′=80°，则∠QOQ′=____，若OQ=2.5cm，则OQ′=____。
2.从3点到5点，钟表上时针转过的角度为____。
3.如图，将四边形AOBC绕点O按逆时针方向旋转45°至DOEF位置，在这个旋转过程中：

（1）旋转中心是什么？
（2）经过旋转，点A、B、C分别移动到什么位置？
（3）AO与DO，BO与EO的大小关系如何？
（4）若∠C=30°，则图中哪个角的度数也是30°?
(5)∠AOD与∠BOE的度数分别是多少？你能说明理由吗？
4.如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.

【教学说明】让学生通过随堂演练，加深对知识的理解，教学时，应给予充裕时间让学生自主探究，独立思考，最后师生共同给出答案，让学生自己查漏补缺，完善认知.
【答案】
1.80°；2.5cm
2.60°
3.(1)旋转中心是点O；
(2)点A、B、C经过旋转后移至D、E、F位置；
(3)OA=OD，OB=OE；
(4)∠F=30°;
(5)∠AOD=∠BOE=45°，因为它们都等于旋转角.
4.因为点A为旋转中心，所以它的对应点是它本身.正方形ABCD中，AB=AD，∠DAB=90°，故旋转后点D与点B重合；又旋转后的图形与△ADE全等，故∠ABE′=∠ADE，BE′=DE，即点E的对应点在CB的延长线上，且BE′=DE，则△ABE′为旋转后的图形，图略.
四、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？
【教学说明】教师提出问题，让学生自主小结，并交流学习心得体会，加深对本节知识的理解，并反思学习过程中的方法，领会本节的数学思想.

1.布置作业：从教材“习题23.1”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课时 作业”部分.

1.积极创设情境，激发学生学习的好奇心和求知欲.以“丰富的生活中的旋转”作为情境引入，这一活动的设计，极大地吸引了学生的注意力，引发了学生的好奇心和求知欲，接着，让学生说出它们的共同点，再让学生举一些旋转的例子，激发学生主动参与探索新知的兴趣.
2.此外，本节课需要注意的地方：（1）教师在提问时需给学生充分思考的时间，帮助学生养成良好的思考、分析习惯.（2）如何将“创设情境”有机地与教学结合起来，更有效地为教学服务.问题情境的创设不能流于形式，而应更多的考虑学生的年龄特征、兴趣爱好，多从学生的角度来设计、创造.


第2课时 旋转作图与平面直角坐标系中的旋转变换

1.进一步加深对旋转性质的理解，能用旋转的性质解决具体问题及进行图案设计.
2.经历对生活中旋转现象的观察、推理和分析过程，学会用数学的眼光看待生活中的有关问题，体验数学与现实生活的密切联系.
3.进一步培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感，体会生活的旋转美，发展学生的美感，增强学生的艺术创作能力和艺术欣赏能力.
【教学重点】
利用旋转的性质设计简单的图案.
【教学难点】
利用旋转性质进行旋转作图.

一、情境导入，初步认识
问题1旋转图形具有哪些性质？还记得吗？说说看.
问题2你能利用旋转的性质作出一个图形绕着某一点按一定方向旋转一个角度后的旋转图形吗？不妨试试看：如图，△AOB绕点O旋转后，G点是B点的对应点，作出△AOB旋转后的三角形.

【教学说明】通过学生回顾前面所学过知识，并完成画图，既巩固了旋转的性质的理解，又为新知学习作好铺垫.教学时，教师应引导学生正确解读旋转性质，即按同一方向作出∠AOA′=∠BOG，且OA′=OA，这样达到由感性认识到理性思考，为利用旋转设计图案埋下伏笔.
二、观察思考，感受新知
出示课件，展示教材P61中图23.1-9：开始出现一片月芽形图案，教师手动鼠标，慢慢出现两片、三片，……，形成图23.1-9中图案，让学生通过观察，感受图案的形成过程，然后教师出示问题，让学生进行思考探究.
问题：（1）你能说出上述图案是怎样得到的吗？
（2）如果仅给你一片月芽形图案，你能设法得到图中的图案吗？
（3）谈谈你对这些图案形成过程的认识，与同伴交流.
【教学说明】通过观察这些美丽的图案，可激发学生的学习兴趣，增强动手画出类似美丽图案的欲望，同时通过思考，感受由旋转而得到美丽图案的形成过程，加深对旋转性质的理解，掌握利用旋转来设计美丽图案的方法.教学时，应让学生进行充分交流，并让学生自主画图感受新知.
利用课件进一步展示“月芽”的旋转效果.
（1）手动鼠标，保持旋转中心不变而改变旋转角，会出现形如教材P61中图23.1-7，让学生感受不同的旋转效果；
（2）手动鼠标，保持旋转角不变而改变旋转中心，出现形如教材P61中图23.1-8，进一步体验不同的旋转效果.
思考（1）在旋转过程中，产生了形如图23.1-7，图23.1-8的不同旋转效果，这是什么原因造成的呢？
（2）你能仿照上述图示方法进行图案设计吗？与同伴交流.
【教学说明】让学生经历观察、探究、尝试运用和交流观点的过程，感受利用旋转的思想方法按不同方式可设计出许多美丽的图案，充分发挥学生的想象力、创造力，提高审美能力，掌握新知.
三、典例精析，掌握新知
例图（1）中的图形是某设计师设计图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图（1）中图形绕点P顺时针依次旋转90°，180°，270°，依次画出旋转后得到的图形，你会得到一个美丽的图案，涂阴影的不要涂错位置，否则不能出现理想的效果，你来试一试吧！（注：方格纸中小正方形的边长为1个单位长度）

分析：运用“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角相等”等旋转的特征，很容易得到旋转后的图案.
解：得到的图案如图（2）

【教学说明】教师提出问题来帮助学生理清思路，既是对所学知识的回顾与反思，又为解决问题寻求解题思路，锻炼学生分析问题解决问题的能力.
四、活动操作，深化理解
问题把一个三角形旋转：
（1）选择某一固定点为旋转中心，旋转角分别为45°，90°和135°，请画出旋转后的图形，并观察旋转效果；
（2）选取两个不同点为旋转中心，旋转角均为30°，请画出旋转后的图形，观察旋转效果.
（3）改变三角形的形状，看看旋转的效果.
【教学说明】
让学生动手操作，可进一步理解旋转中心不变，改变旋转角，与旋转角不变，改变旋转中心产生不同效果的合理性，进而可激发学生利用旋转进行图案设计的欲望，锻炼学生的艺术创作力.
五、图案设计，巩固提高
请以下列图形为基本图形，利用旋转进行图案设计，并与同伴交流效果.

【教学说明】一方面让学生通过画图感受数学的应用价值，另一方面由于学生各自审美观点不同，创造力不同，学生所画出的图案也各不相同，这时教师应引导学生在动手操作，设计图案过程中思考，怎样画才能使画出的图形既符合旋转的性质又美丽呢？从而更好地理解旋转性质.
六、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习你有哪些收获？你觉得利用旋转进行图案设计时应注意哪些问题？请与同伴交流.

1.布置作业：从教材“习题23.1”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课时 作业”部分.

1.本课时 在前一课时 学习基本性质的基础上，进一步运用这些性质解决一些问题，以及通过旋转设计美丽的图案，这种方法符合学生认识图形的过程，能使学生将知识升华到理论层次，并对旋转的性质加以证明，并通过例题加以巩固.
2.在现实世界当中，广泛存在着物体的旋转，数学上研究图形的旋转，就是从中抽象而来的.当我们画一个经过旋转后的图形，在纸面上毕竟不可能再现其真实的移动过程，这个过程只能存在于想象中，所以我们注重的是旋转后的结果，即经过旋转后的图形.要准确画出一个经过旋转后的图形，尤其是旋转结构复杂的图形，就需要一定的方法.我们知道：点动成线，线动成面，面动成体.因此旋转图形的基本思路为：面的旋转通过线段（特殊线段）的旋转实现；线段的旋转通过点（特殊点）的旋转实现。
23.2 中心对称
23.2.1 中心对称

1.理解中心对称的有关定义，掌握中心对称的性质，能利用中心对称性质画出与已知图形成中心对称的图形.
2.经历在操作活动过程中探索出中心对称的性质，进一步增强学生的观察、分析、抽象概括的能力.
3.在操作活动中积累数学活动的经验，培养学生的空间想象能力，增强审美意识，体验几何美，提高学习兴趣.
【教学重点】
利用中心对称的有关定义和性质解决具体问题.
【教学难点】
中心对称与图形旋转的关系.

一、情境导入，初步认识
问题1 如图，将△ABC绕点O旋转，使点A旋转到D处，你能画出旋转后的图形吗？说说你的理由.

问题2 如图，将△ABC绕点O旋转180°，你能画出旋转后的图形吗？说说你的做法，并指出这两个图形之间有什么关系？从中你有何发现？

【教学说明】
设置上述问题的目的一方面对前面所学过知识进行回顾，另一方面又为新知的探索作好铺垫.教学时，应给出时间让学生自主画图，并进行思考，初步认识图形的旋转与中心对称之间的关系.
二、思考探究，获取新知
探究1 （1）如图（1），把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？

（2）如图（2），线段AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？
【教学说明】让学生通过在问题情境中画图的初步认识，并在观察图（1）、（2）所获得的感性认识基础上，认真分析图形特征，相互交流体会，感受图形之间的对称美，从而总结出中心对称的有关概念，必要时，教师可给予适当引导.
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.这个点称为对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
【教学说明】
师生共同总结出中心对称定义后，教师应强调定义的三个特征：（1）反映了两个图形之间的位置关系；
（2）关于旋转中心旋转180°；（3）互相重合.加深学生对定义的理解.
探究2旋转三角尺，画关于点O对称的两个三角形.
第一步：画出△ABC如图(1）；

第二步：以三角尺的一个顶点O为中心，把三角尺旋转180°，画出△A′B′C′如图(2)；
第三步：移开三角尺如图(3).

这样，画出的△ABC与△A′B′C′关于点O对称.试问：
（1）在图(3)中，点O在线段AA′上吗？如果在，在什么位置？对于线段BB′、CC′呢？
（2）△ABC与△A′B′C′有什么关系？
【教学说明】
让学生通过观察，可获得结论为：点O在线段AA′，BB′，CC′上，且OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′；△ABC≌△A′B′C′.然后让学生相互交流，说说理由.教师边巡视，边听取学生间的交流，对于描述不准确的应给予提醒，帮助学生完善认知.
【归纳结论】（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分.
（2）关于中心对称的两个图形全等.
三、典例精析，掌握新知
例（1）选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A′，如图(1)；
（2）选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′，如图（2）.

分析：在（1）中，可利用“对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分”这一性质，画出点A关于O点的对称点A′（即延长AO，并在AO延长线上截取OA′=AO，则A′点即是A关于点O的对称点）；在（2）中，可仿（1）分别得到点A、B、C关于点O的对称点A′、B′、C′，连A′B′、A′C′、B′C′，则△A′B′C′是△ABC关于点O的对称三角形.
解：略.
【教学说明】让学生经历画图过程，进一步加深对中心对称的性质的理解和掌握.教学时，教师提出问题并师生共同分析后，可由学生自己画图，完成解答.
四、运用新知，深化理解
1.下列说法正确的个数是（ ）
①旋转后能够重合的两个图形是中心对称的；②成中心对称的两个图形形状一样、大小相同；③全等的两个三角形一定是中心对称的；④关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图，已知四边形ABCD，请以点O为中心，画一个四边形，使之与四边形ABCD关于点O成中心对称.

【教学说明】
由学生自主探究，相互交流获得结论，教师巡视，关注学生的作图是否准确规范，对作图出现较大偏差的同学给予帮助，让每个学生都能得到发展.
【答案】1.B2.略
五、师生互动，课堂小结
教师让学生围绕以下问题展开：
（1）本节知识要点归纳回顾；
（2）中心对称的性质及其应用；
（3）中心对称和轴对称的区别和联系；
（4）相互交流本节课的学习体会和收获，谈谈学习中有哪些困惑.
【教学说明】教师提出问题，让学生进行回顾思考，相互交流.

1.布置作业：从教材“习题23.2”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课时 作业”部分.

1.本课设计通过问题导入，遵循从感性到理性的渐进认识规律、发展学生直观想象能力，分析、归纳、抽象概括的思维能力.
2.教师要以更为丰富的教学语言激励学生，以便更好地关注学生的情感、态度等方面的发展.
23.2.2中心对称图形

1.了解中心对称图形的定义及其特征，体会中心对称和中心对称图形之间的联系和区别.
2.经历观察、思考、探究、发现的过程，感受中心对称图形的特征，培养学生的观察能力和动手操作能力.
3.通过对中心对称图形的探究和认知，体验图形的变化规律，感受图形的变换的美感，享受学习数学的乐趣和积累一定的审美经验.
【教学重点】
中心对称图形的有关概念及其性质.
【教学难点】
中心对称图形和中心对称的区别和联系

一、情境导入，初步认识
问题1 关于中心对称的两个图形有哪些特征？说说看.
问题2 观察如图所示的三个图形，你能发现什么？与同伴交流你的看法.

【教学说明】
问题1 旨在让学生对上节课的中心对称知识进行简单的回顾，而问题2则是展示本节课所需探讨的问题，从而导入新课.教学时，应让学生认真进行回顾思考，仔细分析图形特征，然后相互交流，并选派代表作出回答，最后教师给予补充说明，导入新课.
二、思考探究，获取新知
探究1 如图，将线段AB绕它的中点旋转180°，你有什么发现？

探究2 如图，将ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°，你有什么发现？

【教学说明】
显然，线段绕它的中点旋转180°后，它的两个端点互换了位置，旋转后的线段与原线段重合；在ABCD中，由于OA=OC，OB=OD，故图形绕点O旋转180°后，点A与点C，点B与点D分别互换了位置，旋转后的图形与原来的图形重合.上述这些结论在学生的积极参与中可自主获得.同时，教师可展示教具（如用钉子固定在两根等长木条的中点处，将其中一根转动180°，另一根不动，看两根木条重合成一根木条的过程）或利用多媒体展示平行四边形绕其对角线交点转动180°的情形，加深学生印象，进而引出中心对称图形的定义.
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
三、合作交流，掌握新知
问题1除上面所讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，请你举例说出一个图形，使它是中心对称图形？与同伴交流.
【教学说明】
通过学生的举例，同伴交流，最后教师予以点评，让学生加深对中心对称图形的理解和掌握.
问题2说说中心对称图形具有哪些特点？它与中心对称有什么区别和联系？谈谈你的看法，并与同伴交流.
【教学说明】
学生在相互交流中获得对中心对称图形及其与中心对称的异同的一些认知后，教师应对这一问题予以评讲，以深化对上述知识点的理解.
【归纳结论】
1.中心对称图形上的每一对对应点所连线段必经过对称中心，且被对称中心平分；
2.中心对称图形是指一个图形本身是中心对称的，它反映了一个图形的本质性质特征，而中心对称是指两个图形关于某一点对称，揭示的是两个全等图形之间的一种位置关系.
3.中心对称图形的形状美观，具有几何美.
问题3
判断下列图形是否为中心对称图形，如果是，请指出它的对称中心.
（1）线段；（2）等腰三角形；（3）矩形；（4）菱形；（5）等腰梯形；（6）圆；（7）正多边形
【教学说明】让学生学会判别一个图形是否是中心对称图形的方法，领会其关键在于找出一个点，看绕着该点旋转180°后能否与自身重合，从而作出判别.教学时，可让学生回答，全班同学一道分析判别，教师适时予以点评，加深对中心对称图形的认识.
【归纳结论】
（1）线段是中心对称图形，其对称中心是该线段的中点；
（2）等腰三角形不是中心对称图形；
（3）矩形是中心对称图形，其对称中心为对角线的交点；
（4）菱形是中心对称图形，其对称中心为对角线的交点；
（5）等腰梯形不是中心对称图形；
（6）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心；
（7）当正多边形的边数是奇数时，它不是中心对称图形；当正多边形的边数为偶数时，它是中心对称图形，它的对称中心是正多边形中心.
四、运用新知，深化理解
1.按要求画一个图形，所画图形中应有一个正方形和圆，并且这个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形.你能行吗？与同伴交流.
2.如图，请在图中画出一条直线，使之将图中图形的面积分成相等的两部分，试试看，与同伴交流.

【教学说明】第1题可由学生自主完成，相互交流所画图案即可，而第2题则应引导学生进行分析，找出解决问题的关键，达到获取结论的目的.事实上，经过中心对称图形的对称中心的任意一条直线将此中心对称图形的面积一分为二.这样，可将所给图案适当添加辅助线转化为两个矩形后，过这两个矩形对角线的交点的直线就将所给图案的面积分成相等的两部分.
【答案】1.如图所示（学生的答案可以不一样，只要合理即可）：

2.如图所示：（答案不唯一）

五、师生互动，课堂小结
为更好地掌握知识，教师可让学生阐述本节所学知识，归纳完善知识体系：
（1）中心对称图形的有关概念；
（2）中心对称图形的性质特点；
（3）中心对称图形与中心对称的区别与联系；
（4）中心对称图形的识别方法.
【教学说明】在学生相互交流后，选派几名同学进行回顾小结，师生再共同完善，让学生谈谈收获和体会，完善认知.

1.布置作业：从教材“习题23.2”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课时 作业”部分.

本课通过学习中心对称图形，进一步认识几何图形的本质特征，通过学习中心对称图形与中心对称的区别联系，中心对称图形与轴对称图形的区别，进一步发展学生抽象概括的能力.
23.2.3关于原点对称的点的坐标

1.理解点P与P′关于原点对称时，它们的横、纵坐标的关系；
2.能运用关于原点对称的点的坐标的关系解决具体问题.
3.通过观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力以及与他人合作交流的能力.
4.结合坐标系内点的坐标对称关系的学习，培养学生合作交流的意识和归纳类比的能力，增强数学学习的信心和乐趣.
【教学重点】
关于原点对称的点的坐标关系及其应用.
【教学难点】
运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标性质.

一、情境导入，初步认识
问题1以前我们学习过关于x轴、y轴对称的点的坐标问题，你能说说关于x轴、y轴对称的点的坐标的关系吗？
问题2在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-3，2），则点A关于原点O的对称点A′的坐标是什么呢？你能说说吗？
【教学说明】让学生通过对问题的思考，初步感受关于原点对称的点的坐标的确定方法，激发学习兴趣和求知欲望，导入新知.
二、思考探究，获取新知
探究 如图，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标.

A（4，0） B（0，-3） C（2，1）
D（-1，2） E（-4，-3）
思考通过你的作图，你能说出这些点和它们关于原点O的对称点的坐标之间有什么关系吗？
【教学说明】
通过让学生在平面直角坐标系中画出某点关于原点O的对称点的过程，可让学生初步感受到关于原点对称的点的坐标的特征，学生在自我探索的过程中，体会成功的喜悦和学习的乐趣.
如图所示，可得到点A、B、C、D、E关于原点O的对称点分别为A′、B′、C′、D′、E′.以点C为例，作C点关于原点O的对称点C′的方法为：

连接CO并延长至C′，使CO=C′O，则C′点即为点C关于原点O的对称点.
过C作CM⊥x轴于M，作C′N⊥x轴于N.
易知△OCM≌△OC′N.∴CM=C′N，OM=ON.
又C(2，1)，即OM=2，CM=1，
∴ON=2，C′N=1.
∴C′点坐标为(-2，-1).
同理可知点A、B、D、E关于原点O的对称点A′、B′、D′、E′的坐标分别为（-4，0），（0，3），（1，-2），（4，3）
【归纳结论】
两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P′的坐标为（-x，-y）.
【教学说明】
在上面的探索活动过程中，先让学生动手画出一些点关于原点的对称点，并写出它们的坐标，然后让学生观察坐标之间的变化，总结出规律，从而归纳出结论，即本节的重点.在这一活动中，既学到了新知识，又锻炼了学生的数学归纳能力.
三、典例精析，掌握新知
例1 图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与△ABC关于原点对称的图形.

分析：（1）由图可知，A、B、C三点坐标分别是什么？
（2）它们关于原点的对称点的坐标又应分别是什么？
（3）这样画出的△A′B′C′与前面利用中心对称来作图有什么区别？
解：（1）A、B、C三点坐标分别是（-4，1）、（-1，-1）、（-3，2）
（2）它们关于原点对称的点的坐标分别是（4，-1）、（1，1）、（3，-2）
（3）略
例2 如图，平行四边形的中心在坐标原点，AD∥BC，D(3，2)，C(1，-2)，求A、B两点的坐标.

分析：因为平行四边形是中心对称图形，所以相对的两个顶点关于中心对称，图中该平行四边形的中心为原点，故A与C、B与D关于原点对称，从而可求出A、B坐标.
解：平行四边形是中心对称图形，A与C，B与D关于原点对称.∴A（-1，2），B（-3，-2）.
【教学说明】
教师提出问题来帮助学生理清思路，既是对所学知识的回顾与反思，又为解决问题寻求解题思路，增强学生运用知识的能力.例1的作图过程可由学生自己完成.
四、运用新知，深化理解
1.点M（-2，3）关于原点的对称点M′的坐标为（ ）
A.（-2，-3）B.（2，-3）
C.（3，-2）D.（2，3）
2.下列各点中哪两个点关于原点O对称？
A（-5，0），B（0，2），C（2，-1），D（2，0），E（0，5），F（-2，1），G（-2，-1）
【教学说明】
设计这两个小题的目的在于进一步使学生掌握知识，可由学生自主完成，教师予以点评.
【答案】
1.B
2.C（2，-1）与F（-2，1）关于原点O对称
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和想法？说说看.
【教学说明】教师还可让学生及时回顾本节课的知识，通过反思、提炼学习的收获，并通过交流，教师可了解学生的学习情况，并及时调整.

1.布置作业：从教材“习题23.2”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课时 作业”部分.

1.本节课通过P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用，初步向学生渗透“数形结合”思想.也为以后的函数学习奠定一定的基础.整个教学和知识点的衔接都比较的流畅，但在很多细节的处理不是很到位，尤其是题目的设置，需要再斟酌.充分利用教材，适当的时候可以将教材内容有机的整合起来，选取适当的载体呈现，这样的教学才能达到更好的效果.
2.这一节与图形的三种运动（平移、翻折、旋转）之一的“旋转”有着不可分割的联系，通过对这一节的学习，既可以让学生认识图形的三种基本运动中“旋转”在几何知识中的重要体现，同时也完善了初中部分对“对称图形”（轴对称图形、中心对称图形）的知识讲授.中心对称是以轴对称为基础，是三角形全等知识的运用，是平行四边形的进一步研究，是今后学习其它图形的必备知识.
23.3 课题学习 图案设计

1.利用图形的平移、轴对称、旋转变换设计组合图案.
2.在应用图形变换进行图案设计的过程中，对所学数学知识进行“再认识”，同时进行独立的数学创造，发展形象思维和创造性思维能力.
3.在经历应用数学知识进行独立的图案设计的活动中，感受到数学美与创造的同时获得自我创造的成就感，激发创造性地应用数学知识的热情.
【教学重点】
利用各种图形变换设计组合图案.
【教学难点】
将基本图形创造性地应用平移、轴对称、旋转等变换设计出和谐、丰富、美观的组合图案.

一、知识回顾，活动预备
教师演示一个三角形分别经过平移、旋转和轴对称变换后得到其对应图形的变换过程，引导学生观察，并提出问题：平移、旋转、轴对称变换的基本特征是什么？让学生思考并归纳出三种图形变换的共性.
【教学说明】让学生观察三种变换的基本过程，并回顾图形变换的基本特征，为进一步从图形变换的角度辨析组合图案奠定基础.在此活动中，教师应关注：（1）学生观察演示时的注意力；（2）学生归纳特征是否准确.
二、图案分析，整合知识
问题1 观察下面的图形（教材书中P72图23.3-1），分析它是由哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？
问题2 观察下面的图形，分析它是由哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？
问题3 继续观察上述图案，感受简单图案的丰富变形.

【教学说明】教师演示课件，突出基本图形经过不同的图形变换后得到组合图案的过程，让学生在组合图案中辨析出基本图形经过了哪些图形变换，再现组合图案的设计过程，感受图形变换的奇妙、美丽、生动与灵活，调动学生创造的热情.教学时，应关注学生能否准确地运用数学语言表述基本图形进行平移、旋转和轴对称变换的过程；让学生感受到简单的基本图形可以通过不同的变换组合出丰富多彩的图案.
三、图案展示，合作交流
展示学生课前搜集到的利用平移、轴对称和旋转变换设计的图案.同学间分小组继续进行图案分析.教师巡视、倾听学生的交流，并提出问题“进行图案设计的步骤是什么？”
【教学说明】
教师应课前布置学生搜集合适图案，让学生在活动中增强收集和处理信息的能力，同时体现数学源于生活，引导学生善于用数学的眼光审视生活.教学时，教师应关注学生在交流过程中能否体会出图案设计的方法.
四、图案设计，升华知识
教师给出一个基本图形（如月芽形、一叶花瓣、等腰三角形、直角三角形等基本图形），让学生自主设计图案（应以平移、旋转、轴对称变换为基本方法），然后同学间相互交流，看看谁设计的图案最美，并由设计者说说图案设计中所运用的图形交换有哪些？
【教学说明】
让学生进行图案设计，可增强学生创造性地应用数学知识的能力.
五、师生互动，课堂小结
（1）图案设计的关键是什么？
（2）欣赏图形变换所产生的美.
【教学说明】
教师引导学生反思图案设计的关键在于选取简单的基本几何图形，通过不同的变换组合出丰富的图案，在欣赏收集的组合图案或教师出示的课件中组合图案，进一步增强图案设计方法的理解和掌握.

完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.

通过反思图案设计的过程和欣赏变换产生的美，展现了数学的应用价值和美学价值.帮助学生了解数学是图形变换的根本，了解数学在人类文明发展中的作用，促进其形成正确的数学观.
本章热点专题训练

1.进一步掌握旋转图形、中心对称、中心对称图形的概念及其性质，能够作出旋转图形和中心对称的图形，增强图案设计的能力.
2.通过对本章知识点的回顾及运用本章知识解决具体问题的过程，进一步增强数学应用的意识和能力，锻炼分析问题和解决问题的能力.
3.在探索图形之间变换关系的过程中，激发学生的学习兴趣，增强数学审美能力.
【教学重点】
本章涉及的主要知识点和数学思想方法.
【教学难点】
综合运用本章知识解决相关的几何问题.

一、 知识框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解
1.旋转的性质有哪些？你能举出旋转的实例吗？
2.在现实生活中，存在着大量的中心对称现象，你能举出一些例子吗？成中心对称的图形有什么特点？
3.请列举学过的中心对称图形，说说如何判别一个图形是否是中心对称图形.
4.关于原点对称的点的坐标有什么特征？
5.用平移、旋转和轴对称的组合进行图案设计的关键是什么？你能进行简单的图案设计吗？
【教学说明】
针对本章的主要知识点，教师可依次提出上述问题，让学生回顾，并交流结论，然后教师逐一讲解，让学生加深对本章知识的领悟，教学时，可给予适当时间让学生回顾交流.
三、典例精析，复习新知
例1如图，若△ABC绕点C沿顺时针方向旋转150°后得到△A1B1C，∠A=60°，∠B1=90°，则∠A1CB=______.

分析：准确的找到对应角，利用三角形的内角和性质.∠A1CB=∠B1CB-∠A1CB1=150°-30°=120°.
例2 在方格纸上建立如图的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为_____.

分析：本题是旋转的有关知识，要看清楚旋转的三要素：①绕哪一个点旋转，即旋转中心；②顺（逆）时针，即旋转方向；③旋转角度是多少.本题只要正确找出线段OA绕O点顺时针旋转90°后的位置，就能确定A′点.如图所示，△OA′B′就是旋转后的三角形，A′（2，3）.
例3如图，写出图形“H”相应各点的坐标.若将A平移到A′的位置，平移后对应各点的坐标分别是多少？两个“H”是否关于原点对称？
分析：由题意知，平移后的“H”与平移前的“H”关于原点对称.所以“H”中的任意一点的坐标（x，y）关于原点对称的坐标为（-x，-y）.这里需要注意的是要找准对应点，如A点对应的是D′，依次类推.

解：A（-3，3），B(-3，2)，C(-3，1)，D(-1，1)，E(-1，2)，F(-1，3)，A′(1，-1)，B′(1，-2)，C′(1，-3)，D′(3，-3)，E′(3，-2)，F′(3，-1).比较A与D′，B与E′，C与F′，D与A′，E与B′，F与C′知，两“H”是关于原点对称.
例4 如图，一财主有一块平行四边形的土地，地里有一个圆形池塘，财主立下遗嘱：要把这块土地平均分给他的两个儿子，中间的池塘也平分，但不知道怎么做，你能想个办法吗？

解：本题实际上是两个中心对称图形的组合，要想将其面积等分，只要能找到一条直线，使其既平分平行四边形的面积，又等分圆的面积即可，故可连接平行四边形的两条对角线，其交点A就是平行四边形的中心，找出圆的圆心B，过A、B作一条直线，这条直线就将平行四边形地与池塘平分了.
例5 已知点P为正△ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°，求证：以AP、BP、CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各个内角的度数.

分析：要判断以AP、BP、CP为边是否构成一个三角形，既可以利用三角形任意两边之和大于第三边的方法，也可以将它们通过适当的方法组合在一起，通过图形的直观性来说明.而这些，可将△ABP绕点B顺时针旋转60°，构成新的图形（如图所示），问题可迎刃而解.
证明：由图易知，BP1=BP，P1C=PA，且∠P1BP=60°，故△BPP1为等边三角形，从而PP1=BP，而△PP1C是显然存在的，即以AP（P1C）、BP（PP1）、PC为边可以组成一个三角形.故∠PP1C=∠BP1C-∠BP1P=∠BPA-60°=113°-60°=53°.
∠P1PC=∠BPC-∠BPP1=(360°-113°-123°)-60°=64°，
∴∠P1CP=180°-53°-64°=63°.
【教学说明】
选取有代表性的5个例题进行评析，可开拓学生的思维，加深对本章知识的理解和运用，起到举一反三的作用.教学时，教师可根据需要选取评讲（也可另选例题）.但仍应给予学生充足分析和思考的时间，锻炼学生分析问题和解决问题的能力.
四、复习训练，巩固提高
1.如右图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB=3，则△DOC中CD边上的高是（ ）

A.3 B.6 C.8 D.12
2.如图所示，在△ABC中，∠BAC=15°，将△ABC，绕点A按逆时针方向旋转90°到△ADE的位置，然后将△ADE以AD为轴折叠到△ADF的位置，连接CF，判断△ACF的形状，并说明理由.

【教学说明】
让学生通过自主探究，完成相应习题，进一步巩固对本章知识的理解和掌握.教学时，教师可根据实际情况，选取练习题，在学生练习过程中，教师巡视，对有困难的同学给予帮助，让每个同学都得到发展.
【答案】1.C
2.解：△ACF是等边三角形，理由如下，由旋转及对称的性质可知∠BAD=90°，∠FAD=∠DAE=∠BAC=15°，AC=AE=AF，∴∠CAF=90°-15°-15°=60°.∴△ACF是等边三角形.
五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你对本章知识有哪些新的认识和体会，说说你的看法，并与同伴交流.
【教学说明】让学生反思小结本章内容，巩固知识，提升解题技能.

1.布置作业：从教材“复习题23”中选取.
2.完成练习册中本课时的热点专题训练.

图形的变换是《课标》中增强的部分，加强这部分内容的学习可进一步丰富对空间的认识和感受，体验在现实生活中的应用，发展空间观念，所以是中考的重要内容，题型很丰富，难度也不一致，各层次都有，也可能和其它知识综合出现在压轴题中，所以，同学们要认真学好这部分内容.