2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第1章第2节 充分条件与必要条件
展开第二节 充分条件与必要条件
[考纲传真] 1.通过对典型数学命题的梳理、理解充分条件，必要条件的意义、理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系.2.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．
充分条件、必要条件与充要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 | |
p是q的充分不必要条件 | p⇒q且qp |
p是q的必要不充分条件 | pq且q⇒p |
p是q的充要条件 | p⇔q |
p是q的既不充分也不必要条件 | pq且qp |
1．充分条件、必要条件的两个结论
(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；
(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．
2．充分条件、必要条件与集合的关系
p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B | |
p是q的充分条件 | A⊆B |
p是q的必要条件 | B⊆A |
p是q的充分不必要条件 | AB |
p是q的必要不充分条件 | BA |
p是q的充要条件 | A＝B |
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件． ( )
(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题． ( )
(3)q不是p的必要条件时，“pq”成立． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.
但A⊆B时，a＝2或3.
∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]
4．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B [x＜3－1＜x＜3，但－1＜x＜3⇒x＜3，因此p是q的必要不充分条件，故选B.]
5．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件，“x∈B”是“x∈A”的________条件．
[答案] 充分 必要
| 充分条件、必要条件的判断 |
【例1】 (1)(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“m∉M”是“m∉N”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(1)B (2)A [(1)a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则＝，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则＝，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.
(2)条件与结论都是否定形式，可转化为判断“m∈N”是“m∈M”的什么条件．由NM知，“m∈N”是“m∈M”的充分不必要条件，从而“m∉M”是“m∉N”的充分不必要条件，故选A.]
[规律方法] 充分条件和必要条件的两种判断方法
1定义法：可按照以下三个步骤进行
①确定条件p是什么，结论q是什么；
②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；
③确定条件p和结论q的关系.
2集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.
易错警示：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p，而p不能推出q”.
(1)(2018·天津高考)设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋8y－8＝0与直线l2：2x＋ay－a＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(1)A (2)D [(1)由x3＞8可得x＞2，从而|x|＞2成立，
由|x|＞2可得x＞2或x＜－2，从而x3＞8不一定成立．
因此“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件，故选A.
(2)∵当a≠0时，＝＝⇒直线l1与直线l2重合，∴无论a取何值，直线l1与直线l2均不可能平行，当a＝4时，l1与l2重合．故选D.]
充分条件、必要条件的探求及证明 |
【例2】 (1)对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是( )
A．m⊥n，n∥α B．m∥β，β⊥α
C．m⊥β，n⊥β，n⊥α D．m⊥n，n⊥β，β⊥α
C [对于选项C，因为m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故选C.]
(2)已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0.
[证明] 法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得＞，即＜.
必要性：由＜，得－＜0，即＜0.
因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0.
所以＜的充要条件是xy＞0.
法二：＜⇔－＜0⇔＜0.
由条件x＞y⇔y－x＜0，故由＜0⇔xy＞0.
所以＜⇔xy＞0，
即＜的充要条件是xy＞0.
[规律方法] 充要条件的证明
1证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性.
2证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论.
(1)不等式x(x－2)＜0成立的一个必要不充分条件是( )
A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞)
C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)
B [由x(x－2)＜0得0＜x＜2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)＜0成立”的一个必要不充分条件．]
(2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
充分性：由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充分条件、必要条件的应用 |
【例3】 (1)设命题p：(4x－3)2≤1，命题q：x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C．(－∞，0]∪
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
(2)“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )
A．－1≤k＜3 B．－1≤k≤3
C．0＜k＜3 D．k＜－1或k＞3
(1)A (2)C [(1)由(4x－3)2≤1得≤x≤1，即p：≤x≤1，
由x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)≤0得m≤x≤m＋1，即q：m≤x≤m＋1.
由p是q的充分不必要条件，
从而{x|m≤x≤m＋1}．
∴，解得0≤m≤，故选A.
(2)“直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点”的充要条件是＜，即－1＜k＜3.
故所求应是集合{k|－1＜k＜3}的一个子集，故选C.]
[规律方法] 利用充要条件求参数的关注点
1巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式或不等式组求解.
2端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍.
(1)若“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－1,0]
C．[1,2] D．[－1,2]
(2)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
(1)A (2)3或4 [(1)由题意知(－1,4)(2m2－3，＋∞)，
∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选A.
(2)当Δ＝16－4n≥0，即n≤4时，方程x2－4x＋n＝0的两根为x＝＝2±.
又n∈N*，且n≤4，则当n＝3,4时，方程有整数根．]
