2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第8章第8节 曲线与方程
展开第八节 曲线与方程
[考纲传真] 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．
1．曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点的轨迹方程的基本步骤
[常用结论]
1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．曲线的交点与方程组的关系
(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；
(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( )
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( )
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( )
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．已知M(－1,0)，N(1,0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线左支
C．一条射线 D．双曲线右支
C [∵|PM|－|PN|＝|MN|＝2，∴动点P的轨迹是一条射线，故选C.]
3．(教材改编)P是椭圆＋＝1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹方程为( )
A.x2＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
B [设中点坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x,2y)，代入椭圆方程得＋y2＝1.故选B.]
4．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
C [由题意，知＝(－2－x，－y)，
＝(3－x，－y)，由·＝x2，得y2＝x＋6，因此选C.]
5．已知线段AB的长为6，直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程是________．
－＝1(x≠±3) [以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(－3,0)，B(3,0)．设点M的坐标为(x，y)，则直线AM的斜率kAM＝(x≠－3)，直线BM的斜率kBM＝(x≠3)．由已知有·＝(x≠±3)，化简整理得点M的轨迹方程为－＝1(x≠±3)．]
定义法求轨迹方程
【例1】 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求 C的方程．
[解] 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
[母题探究] (1)把本例中圆M的方程换为：(x＋3)2＋y2＝1，圆N的方程换为：(x－3)2＋y2＝1，求圆心P的轨迹方程．
(2)在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x＝－1相切，求圆心P的轨迹方程．
[解] (1) 由已知条件可知圆M和N外离，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2＜|MN|＝6，由双曲线的定义知点P的轨迹是双曲线的右支，其方程为x2－＝1(x＞1)．
(2)由于点P到定点N(1,0)和定直线x＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是以N(1,0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y2＝4x.
[规律方法] 定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点
1求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.
2关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.
3利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.
(1)若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是( )
A．x＝－4 B．x＝4
C．y2＝8x D．y2＝16x
(2)在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为________．
(1)D (2)－＝1(x＞) [(1)依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此点M的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，p＝8，∴点M的轨迹的方程为y2＝16x，故选D.
(2)以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.
所以|AB|－|AC|＝2，
所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝，c＝2，所以b＝，
所以轨迹方程为－＝1(x＞)．]
直接法求轨迹方程
【例2】 已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．
[解] (1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ，整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．
即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．
(2)当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；
当－1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，
焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；
当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)．
当λ＜－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．
[规律方法] 直接法求曲线方程的关注点
1关键点：直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明可以省略.
2注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.
提醒：对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明可以省略，必要时可说明x，y的取值范围.
已知两点M(－1,0)，N(1,0)且点P使·，·，·成公差小于0的等差数列，则点P的轨迹是什么曲线？
[解] 设P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)得
＝－＝(－1－x，－y)，
＝－＝(1－x，－y)，
＝－＝(2,0)，
所以·＝2(1＋x)，·＝x2＋y2－1，
·＝2(1－x)．
于是·，·，·是公差小于0的等差数列等价于
即
所以点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆(不含端点)．
相关点(代入)法求轨迹方程
【例3】 (2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
[解] (1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
由＝得x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则
＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，
＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
[规律方法] “相关点法”求轨迹方程的基本步骤
1设点：设被动点坐标为x，y，主动点坐标为x1，y1.
2求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
3代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.
在直角坐标系xOy中，长为＋1的线段的两端点C，D分别在x轴、y轴上滑动，＝.记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A，B两点，＝＋，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积．
[解] (1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)．
由＝，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，
所以解得
由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，
所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，
整理，得曲线E的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝＋，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．
由题意知，直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入曲线E的方程，得
(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.
由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，
即＋＝1，解得k2＝2.
这时|AB|＝|x1－x2|＝＝，
原点到直线AB的距离d＝＝，
所以平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝.
(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
[解] 由题意知F，
设直线l1的方程为y＝a，直线l2的方程为y＝b，
则ab≠0，且A，B，P，Q，R.
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1＝＝＝＝＝－b＝＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，
则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，
S△PQF＝.
由题意可得|b－a|＝，
所以x1＝0(舍去)，x1＝1.
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，
由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．
而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，
满足方程y2＝x－1.
所以所求的轨迹方程为y2＝x－1.
