2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第1章第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

[考纲传真]　1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件；

(3)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；

(5)若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．

[常用结论]

1．在四种形式的命题中，真命题的个数只能为0,2,4.

2．p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．其他情况依次类推．

3．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，p是q的充分不必要条件⇔AB；p是q的必要不充分条件⇔AB；p是q的充要条件⇔A＝B.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　　)

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　　)

(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)

(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．(教材改编)命题“若α＝，则sin α＝”的逆否命题是(　　)

A．若α≠，则sin α≠

B．若α＝，则sin α≠

C．若sin α≠，则α≠

D．若sin α≠，则α＝

C　[“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则 綈p”，显然綈q：sin α≠，綈p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若≠，则α≠”．]

3．“x＝1”是“(x－1)(x＋2)＝0”的(　　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

A　[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x＝1或－2.]

4．(教材改编)下列命题是真命题的是(　　)

A．矩形的对角线相等

B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

C．若整数a是素数，则a是奇数

D．命题“若x2＞0, 则x＞1”的逆否命题

A　[令a＝c＝0，b＝d＝－1，则ac＜bd，故B错误；当a＝2时，a是素数但不是奇数，故C错误；取x＝－1，则x2＞0，但x＜1，故D错误．]

5．已知命题“若x＞1，则2x＜3x”，则在它的逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是(　　)

A．0   B．1

C．2   D．3

B　[原命题“若x＞1，则2x＜3x”，则它的逆命题：若2x＜3x，则x＞1，若x＝1时也满足2x＜3x，所以逆命题是假命题；否命题：若x≤1，则2x≥3x，由逆命题与否命题真假性相同知，否命题是假命题；逆否命题：若2x≥3x，则x≤1，为真命题．故选B.]

四种命题的关系及其真假的判断

1．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(　　)

A．不拥有的人们会幸福　　 B．幸福的人们不都拥有

C．拥有的人们不幸福   D．不拥有的人们不幸福

D　[原命题与其逆否命题等价，故选D.]

2．若命题A的逆命题为B，命题A的否命题为C，则B是C的(　　)

A．逆命题   B．否命题

C．逆否命题   D．都不对

C　[根据题意，设命题A为“若p，则q”，则命题B为“若q，则p”，命题C为“若綈p，则綈q”；

显然，B与C是互为逆否命题．故选C.]

3．下列命题中的真命题是(　　)

①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

④“若x＝3，则x是无理数”的逆否命题．

A．①②③④   B．①③④

C．②③④   D．①④

B　[①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，是真命题；②“正多边形都相似”的逆命题是“相似的多边形是正多边形”，为假命题；③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”是真命题，故其逆否命题也是真命题；④“若x＝3，则x是无理数”是真命题，故其逆否命题也是真命题．故选B.]

充分条件、必要条件的判定

【例1】　(1)(2018·天津高考)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2019·西安八校联考)在△ABC中，“·＞0”是“△ABC是钝角三角形”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(1)A　(2)A　[(1)由＜得0＜x＜1，则x3＜1成立；

取x＝－1，则(－1)3＜1，但＝＞.故选A.

(2)由·＞0，得·＜0，即cos B＜0，所以B＞90°，△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，B不一定是钝角．所以“·＞0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.]

[规律方法]　充分条件、必要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

(1)(2019·湘东五校联考)“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)

A．m＞   B．0＜m＜1

C．m＞0   D．m＞1

(2)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

(1)C　(2)A　[(1)若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0.

(2)因为綈p是q的必要不充分条件，所以q⇒綈p，但綈pq，其等价于p⇒綈q，但綈qp，故选A.]

充分条件、必要条件的应用

【例2】　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．

[0,3]　[由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则∴0≤m≤3.

即所求m的取值范围是[0,3]．]

[母题探究]　把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m的取值范围．

[解]　由x∈P是x∈S的充分条件，知P⊆S，则解得m≥9，

即所求m的取值范围是[9，＋∞)．

(1)已知条件p：x2－2ax＋a2－1＞0，条件q：x＞2，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)   B．(－∞，1]

C．[－3，＋∞)   D．(－∞，－3]

(2)已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)   B．(－∞，1]

C．[－1，＋∞)   D．(－∞，－3]

(1)B　(2)A　[(1)由x2－2ax＋a2－1＞0得(x－a＋1)(x－a－1)＞0，解得x＞a＋1或x＜a－1，故p：x＞a＋1或x＜a－1.又q：x＞2，且q是p的充分而不必要条件，所以a＋1≤2，解得a≤1，故选B.

(2)由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.故选A.]

1．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；

p4：若复数z∈R，则∈R.

其中的真命题为(　　)

A．p1，p3　　 B．p1，p4

C．p2，p3   D．p2，p4

B　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．

对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．

对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.

当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题．

对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．

对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.]

2．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

C　[当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，

比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．

由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.

综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．]