2020高考数学新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第二章第五节　对数与对数函数

第五节　对数与对数函数

突破点一　对数的运算

1．对数的概念、性质及运算

2.重要公式

(1)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；

(2)logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)

(2)log2x2＝2log2x.(　　)

(3)存在这样的M，N使得log2(MN)＝log2M·log2N.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

二、填空题

1．已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________(用p，q表示)．

解析：lg 5＝＝＝.

答案：

2．计算：2＋lg 8＋lg 25＋＝________.

解析：原式＝＋3(lg 2＋lg 5)＋＝5.

答案：5

3．已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________.

解析：∵4a＝22a＝2，∴a＝.

∴lg x＝，∴x＝.

答案：

4．log225·log34·log59＝________.

解析：原式＝··＝··＝8.

答案：8

计算下列各式的值：

(1)log535＋2log－log5－log514；

(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.

解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2

＝log5＋log2＝log553－1＝2.

(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64

＝÷log622

＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62

＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.

解决对数运算问题的常用方法

(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．

(2)将同底对数的和、差、倍合并．

(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.

1．计算：÷100＝________.

解析：原式＝lg×100＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.

答案：－20

2．计算：lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2)2＋lg ＋lg 0.06＝________.

解析：原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝ 3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1.

答案：1

3．(2019·宁波期末)已知4a＝5b＝10，则＋＝________.

解析：∵4a＝5b＝10，∴a＝log410，＝lg 4，b＝log510，＝lg 5，∴＋＝lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.

答案：2

突破点二　对数函数的图象及应用

1．对数函数的图象

2.底数的大小决定了图象相对位置的高低

不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c<d<1<a<b.

在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；

在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．

(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)

3．指数函数与对数函数的关系

指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象不在第二、三象限．(　　)

(2)函数y＝log2(x＋1)的图象恒过定点(0,0)．(　　)

答案：(1)√　(2)√

二、填空题

1．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．

解析：y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.

答案：(4，－1)

2．函数y＝log3|2x－m|的图象关于x＝对称，则m＝________.

答案：1

3．若f(x)＝log2x，则f(x)>0的x的范围是________．

答案：(1，＋∞)

考法一　对数函数图象的辨析　

[例1]　(2019·海南三市联考)函数f(x)＝|loga(x＋1)|的大致图象是(　　)

[解析]　法一：函数f(x)＝|loga(x＋1)|的定义域为{x|x>－1}，且对任意的x，均有f(x)≥0，结合对数函数的图象可知选C.

法二：的图象可由y＝logax的图象左移1个单位，再向上翻折得到，结合选项知选C.

[答案]　C

[方法技巧]

研究对数型函数图象的思路

研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a>1或0<a<1这两种不同情况．　　

考法二　对数函数图象的应用　

[例2]　(2019·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝|ln x|.若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　　)

A．(4，＋∞)　　　　　 B．[4，＋∞)

C．(5，＋∞)  D．[5，＋∞)

[解析]　由f(a)＝f(b)得|ln a|＝|ln b|，

根据函数y＝|ln x|的图象及0<a<b，得－ln a＝ln b,0<a<1<b，＝b.

令g(b)＝a＋4b＝4b＋，易得g(b)在(1，＋∞)上单调递增，

所以g(b)>g(1)＝5.

[答案]　C

[易错提醒]

应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求解错误，要记准记牢图象的变换规律．

1.函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　　)

解析：选A　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.

2.已知函数f(x)＝|logx|的定义域为，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．

解析：作出f(x)＝|logx|的图象(如图)，可知f＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.

答案：[1,2]

3.使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．

解析：在同一坐标系中分别画出函数y＝log2(－x)和y＝x＋1的图象(如图所示)，由图象知使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是(－1,0)．

答案：(－1,0)

突破点三　对数函数的性质及应用

对数函数的性质

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)当x>1时，logax>0.(　　)

(2)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．(　　)

(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×

二、填空题

1．函数y＝的定义域为________．

答案：[2，＋∞)

2．函数y＝log(3x－1)的单调递减区间为________．

答案：

3．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.

答案：2或

考法一　与对数有关的函数定义域问题　

[例1]　(2018·西安二模)若函数y＝log2(mx2－2mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)

A．(0,3)　　　　　　　 B．[0,3)

C．(0,3]  D．[0,3]

[解析]　由题意知mx2－2mx＋3>0恒成立．当m＝0时，3>0，符合题意；当m≠0时，只需解得0<m<3.综上0≤m<3，故选B.

[答案]　B

[方法技巧]

已知f(x)＝loga(px2＋qx＋r)(a>0，且a≠1)的定义域为R，求参数范围时，要注意分p＝0，p≠0讨论．同时p≠0时应结合图象说明成立条件．　　

考法二　与对数有关的比较大小问题　

[例2]　(2019·湖北华中师大第一附属中学期中)设a＝2 018，b＝log2 018，c＝log2 019，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>b>c  B．a>c>b

C．b>a>c  D．c>b>a

[解析]　∵a＝2 018>2 0180＝1,1＝log2 0182 018>b＝log2 018>log2 018＝，c＝log2 019<log2 019＝，所以a>b>c.故选A.

[答案]　A

[方法技巧]　　　对数函数值大小比较的方法

考法三　与对数有关的不等式问题　

[例3]　设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1,0)∪(0,1)  B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞)  D．(－∞，－1)∪(0,1)

[解析]　由题意得或

解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.

[答案]　C

[方法技巧]

简单对数不等式问题的求解策略

(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．

(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．

(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．　　

考法四　对数函数性质的综合问题　

[例4]　若函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　　)

A.  B.

C.  D.

[解析]　由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.

二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2.由复合函数单调性可得函数f(x)＝  log(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，只需解得≤m＜2.

[答案]　C

[方法技巧]

解决对数函数性质的综合问题的3个注意点

(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)．

(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．

(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．　　

1.函数f(x)＝的定义域是(　　)

A.　　　　　　 B.∪(0，＋∞)

C.  D．[0，＋∞)

解析：选B　由解得x>－且x≠0，故选B.

2.设a＝log50.5，b＝log20.3，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．b<a<c  B．b<c<a

C．c<b<a  D．a>b>c

解析：选B　a＝log50.5>log50.2＝－1，b＝log20.3<log20.5＝－1，c＝log0.32>log0.3＝－1，log0.32＝，log50.5＝＝＝.∵－1<lg 0.2<lg 0.3<0，∴<，即c<a，故b<c<a.故选B.

3.(2019·湛江模拟)已知loga<1，那么a的取值范围是________．

解析：∵loga<1＝logaa，故当0<a<1时，y＝logax为减函数，0<a<；当a>1时，y＝logax为增函数，a>，∴a>1.综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．

答案：∪(1，＋∞)

4.(2019·盐城中学月考)已知函数f(x)＝loga(0<a<1)为奇函数，当x∈(－1，a]时，函数f(x)的值域是(－∞，1]，则a＋b的值为________．

解析：由>0，解得－b<x<1(b>0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b＝1.所以f(x)＝loga(0<a<1)．又g(x)＝＝－1＋在(－1，a]上单调递减，0<a<1，所以f(x)在  (－1，a]上单调递增．又因为函数f(x)的值域是(－∞，1]，故f(a)＝1，此时g(a)＝a，即＝a，解得a＝－1(负根舍去)，所以a＋b＝.

答案：