2020高考数学新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第二章第八节函数模型及其应用

第八节函数模型及其应用

突破点一　基本初等函数模型

1．几类常见的函数模型

2.三种基本初等函数模型的性质

1．某物体一天内的温度T是时间t的函数T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为________℃.

答案：8

2．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．

解析：当v＝12 000时，2 000·ln＝12 000，

∴ln＝6，∴＝e6－1.

答案：e6－1

3．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶．

解析：设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)·＝80(x－3)(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取得最大值．

答案：6

4．(2019·枣阳高级中学期中)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．

解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.

答案：4.24

考法一　二次函数模型　

[例1]　(2019·商丘二中检测)  如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．

(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；

(2)求矩形BNPM面积的最大值．

[解]　(1)如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，

在△EDF中，＝，所以＝，

所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．

(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝x10－＝－(x－10)2＋50，

所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，

所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增，

所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米．

[方法技巧]

在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．　

考法二　指数函数、对数函数模型　

[例2]　(1)(2019·贵阳摸底)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大震幅，A0是“标准地震”的振幅，若“标准地震”的振幅为0.001，测震仪测得某地地震的震级为4级，则该地震的最大振幅为(　　)

A．6　　　　　　　　　 B．8

C．10  D．12

(2)(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．

[解析]　(1)由题意知，lg A－lg 0.001＝4，所以lg A＝1，即A＝10.故选C.

(2)设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.化简得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x，

易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374<0，f(4)＝0.063 4>0，所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点．

故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．

[答案]　(1)C　(2)4

[方法技巧]

两种函数模型的应用技巧

(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．

(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．　　

1.某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：

请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为(　　)

A．4  B．5.5

C．8.5  D．10

解析： 选C　设定价为x元/件时，日均销售利润为y元，则y＝(x－3)·[400－(x－4)·40]＝－402＋1 210，故当x＝＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.

2.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)

(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)

A．2018年 B．2019年

C．2020年 D．2021年

解析：选C　设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．

根据题意得130(1＋12%)n－1＞200，

则lg[130(1＋12%)n－1]＞lg 200，

∴lg 130＋(n－1)lg 1.12＞lg 2＋2，

∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12＞lg 2＋2，

∴0.11＋(n－1)×0.05＞0.30，解得n＞，

又∵n∈N*，∴n≥5，

∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年．故选C.

突破点二　两类特殊函数的模型

考法一　y＝x＋(a>0)型函数模型　

[例1]　(2019·盐城中学期末)某校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的AMPN矩形健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知        ∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10,20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为元(k为正常数)．

(1)试用x表示S，并求S的取值范围；

(2)求总造价T关于面积S的函数T＝f(S)；

(3)如何选取|AM|，使总造价T最低(不要求求出最低造价)?

[解]　(1)在Rt△PMC中，显然|MC|＝30－x，∠PCM＝60°，

|PM|＝|MC|·tan∠PCM＝(30－x)，

∴矩形AMPN的面积S＝|PM|·|AM|＝x(30－x)，x∈[10,20]，

由x(30－x)≤2＝225，

可知当x＝15时，S取得最大值为225，

当x＝10或20时，S取得最小值为200，

∴200≤S≤225.

(2)矩形AMPN健身场地造价T1＝37k，

又∵△ABC的面积为450，

∴草坪造价T2＝(450－S)．

∴总造价T＝T1＋T2＝25k，200≤S≤225.

(3)∵＋≥12，

当且仅当＝，即S＝216时等号成立，

此时x(30－x)＝216，解得x＝12或x＝18.

所以选取|AM|为12米或18米时总造价T最低．

[方法技巧]

“y＝x＋(a>0)”型函数模型的求解策略

(1)“y＝x＋”型函数模型在实际问题中会经常出现．解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋”型函数模型．

(2)求函数解析式要确定函数的定义域．对于y＝x＋(a>0，x>0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．　　

考法二　分段函数模型　

[例2]　(2019·德州期中)某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．

(1)如果投放的药剂的质量为m＝5，试问自来水达到有效净化总共可持续几天？

(2)如果投放的药剂质量为m，为了使在9天(从投放药剂算起包括9天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．

[解]　(1)当m＝5时，y＝

当0<x≤5时，＋10≥5，显然符合题意；

当x>5时，由≥5解得5<x≤21.

所以自来水达到有效净化总共可持续21天．

(2)y＝mf(x)＝

当0<x≤5时，y＝＋2m在区间(0,5]上单调递增，

所以2m<y≤3m；

当x>5时，y′＝<0，

所以函数y＝在(5,9]上单调递减，

所以≤y<3m.综上可知≤y≤3m.

为使5≤y≤10恒成立，只要

解得≤m≤，

所以应该投放的药剂质量m的最小值为.

[方法技巧]

分段函数模型的求解策略

(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．

(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．

(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．　　

1.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的取值范围为(　　)

A．[2,4]　　　　　　　　 B．[3,4]

C．[2,5]  D．[3,5]

解析：选B　根据题意知，9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2×＝BC＋x，h＝x，所以9＝(2BC＋x)x，

得BC＝－，由得2≤x<6.所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x<6)，由y＝＋≤10.5，解得3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6)，所以腰长x的取值范围为[3,4]．故选B.

2.已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝当每件衣服的利润为多少元时，该服装厂所获效益最大？并求出最大值．

解：设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝当0<x≤20时，f(x)＝＝126 000－，f(x)在区间(0,20]上单调递增，所以当x＝20时，f(x)有最大值120 000.当20<x≤180时，f(x)＝9 000x－300·x，则f′(x)＝9 000－450·，令f′(x)＝0，∴x＝80.当20<x<80时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，所以当x＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.故当每件衣服的利润为80元时，该服装厂所获效益最大为240 000元．