2020高考数学新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第二章第六节　函数的图象及其应用

第六节　函数的图象及其应用

突破点一　函数的图象

1．利用描点法画函数图象的流程

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

y＝f(x)y＝f(x－a)；

y＝f(x)y＝f(x)＋b.

(2)伸缩变换

y＝f(x)y＝Af(x)．

(3)对称变换

y＝f(x)y＝－f(x)；

y＝f(x)y＝f(－x)；

y＝f(x)y＝－f(－x)．

(4)翻折变换

y＝f(x)y＝f(|x|)；

y＝f(x)y＝|f(x)|.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(　　)

(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　　)

(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．(　　)

(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

二、填空题

1．函数f(x)的图象向左平移1个单位长度再向上平移1个单位，得到y＝log2x的图象，则f(x)＝________.

答案：f(x)＝log2(x－1)－1

2.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝________.

解析：由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，

∴f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.

答案：－1

3．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．

答案：(0，＋∞)

考法一　作函数的图象　

[例1]　分别作出下列函数的图象：

(1)y＝|lg x|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1.

[解]　(1)y＝图象如图①所示．

(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②所示．

(3)y＝图象如图③所示．

[方法技巧]　　　　函数图象的画法

考法二　函数图象的识别　

[例2]　(1)(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)

(2)(2019·郴州一中月考)如图，在△OAB中，A(4,0)，B(2,4)，过点P(a，0)且平行于OB的直线l与线段AB交于点Q，记四边形OPQB的面积为y＝S(a)，则函数y＝S(a)的大致图象为(　　)

[解析]　(1)法一：令f(x)＝－x4＋x2＋2，

则f′(x)＝－4x3＋2x，

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±，

由f′(x)>0知在，上函数f(x)单调递增；由f′(x)<0知在，，＋∞上函数f(x)单调递减，结合图象知选D.

法二：当x＝1时，y＝2，所以排除A、B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝2>2，所以排除C选项．故选D.

(2)由题意可知直线l的斜率为2，设其方程为y＝2(x－a)，0≤a≤4.由两点式可得AB：y＝－2x＋8，联立方程得Q.结合四边形OPQB为梯形，因此其面积y＝S(a)＝×4×4－×(4－a)×(4－a)＝－(4－a)2＋8.故选D.

[答案]　(1)D　(2)D

[方法技巧]

有关函数图象识别问题的解题思路

(1)由解析式确定函数图象

①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；

②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；

④由函数的周期性，判断图象的循环往复．

(2)由实际情景探究函数图象

关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．　　

1.(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是(　　)

解析：选D　由y＝2|x|sin 2x知函数的定义域为R，令f(x)＝2|x|sin 2x，则f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin 2x.∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，故排除A、B.令f(x)＝2|x|sin 2x＝0，解得x＝(k∈Z)，∴当k＝1时，x＝，故排除C，选D.

2.已知有四个平面图形，分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)从原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(选项中阴影部分)．若函数y＝f(t)的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是(　　)

解析：选C　观察函数图象可得函数y＝f(t)在[0，a]上是增函数，即说明随着直线l的右移，扫过图形的面积不断增大．再对图象作进一步分析，图象首先是向下凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越快，然后是向上凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢．根据这一点很容易判定C项不符合．这是因为在C项中直线l扫到矩形部分时，面积会呈直线上升．

3.作出下列函数的图象：

(1)y＝|x|；

(2)y＝|log2(x＋1)|；

(3)y＝.

解：(1)作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，加上y＝x的图象中x≥0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图实线部分．

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图所示．

(3)∵y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．

突破点二　函数图象的应用问题

利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等．解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解．

考法一　利用函数图象研究函数的性质　

[例1]　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)

B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)

C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)

D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)

[解析]　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．

[答案]　C

[方法技巧]

破解此类问题的关键是化简函数的解析式，并能画出函数的草图，通过观察图象，即可得出正确的选项．　

考法二　利用函数图象求解不等式　

[例2]　若不等式(x－1)2<logax(a>0，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1,2]　　　　　　　 B.

C．(1，)  D．(，2)

[解析]　要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在y＝logax的图象的下方即可．

当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1,2)

时，y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2

≤loga2，即loga2≥1，解得1<a≤2，故实数a的取值范围是(1,2]．

[答案]　A

[方法技巧]

利用函数图象求解不等式的思路

当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解．　　

考法三　利用图象解决方程根的问题　

[例3]　(2019·洛阳模拟)已知函数f(x)＝则关于x的方程x－f(x)＝0在[－2，2]上的根的个数为(　　)

A．3　　　　　　　　 B．4

C．5  D．6

[解析]　分别作出y＝f(x)，y＝x的图象，如图，可知函数f(x)的图象与直线y＝x在    [－2,2]上有4个交点，所以方程x－f(x)＝0在[－2,2]上的根的个数为4，选B.

[答案]　B

[方法技巧]

利用函数的图象解决方程根问题的思路

当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．　　

1.已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)

A．有最小值－1，最大值1

B．有最大值1，无最小值

C．有最小值－1，无最大值

D．有最大值－1，无最小值

解析：选C　如图，画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|＜g(x)，

故h(x)＝－g(x)．

综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．

2.设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋  f(－4)＝1，则a为(　　)

A．－1  B．1 

C．2  D．4

解析：选C　设(x，y)为y＝f(x)图象上任意一点，则(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，所以有－x＝2－y＋a，从而有－y＋a＝log2(－x)，所以y＝a－log2(－x)，即f(x)＝a－log2(－x)，所以f(－2)＋f(－4)＝(a－log22)＋(a－log24)＝(a－1)＋(a－2)＝1，解得a＝2.故选C.

3.已知函数f(x)＝若f(3－a2)<f(2a)，则实数a的取值范围是________．

解析：如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，∵f(3－a2)<f(2a)，∴3－a2>2a，解得－3<a<1.

答案：(－3,1)

4.已知f(x)＝(x＋1)·|x－1|，若关于x的方程f(x)＝x＋m有三个不同的实数解，则实数m的取值范围为________．

解析：因为f(x)＝(x＋1)|x－1|＝在同一平面直角坐标系内作出y＝f(x)，y＝x＋m的图象，如图，当直线与抛物线相切时，联立方程组得x2＋x＋m－1＝0，Δ＝1－4(m－1)＝5－4m＝0，解得m＝，方程f(x)＝x＋m有三个不同的实数解就是直线与抛物线有三个交点，由图可知－1<m<.

答案：