2020高考数学新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第二章第七节函数与方程

第七节函数与方程

突破点一　函数的零点问题

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

[提醒]　函数零点的两个易错点

(1)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．

(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．

2．二次函数图象与零点的关系

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)

(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(　　)

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac<0时没有零点．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

二、填空题

1．若函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．

解析：∵函数f(x)＝ax－b的零点是3，∴3a－b＝0，即b＝3a.于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1.

答案：0，－1

2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点个数为________．

解析：∵f′(x)＝ex＋>0，

∴f(x)在R上单调递增，

又f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－>0，

∴函数f(x)在定义域内有零点且只有一个．

答案：1

3．若函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．

解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1,1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)·(3a－1)<0，解得<a<1，所以实数a的取值范围是.

答案：

考法一　函数零点所在区间的判断　

[例1]　(2019·河南阶段性测试)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为(　　)

A．(0,1)　　　　　　　 B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3,4)

[解析]　法一：(利用零点存在性定理)因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2,3)上，故选C.

法二：(数形结合)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2,3)内．

[答案]　C

[方法技巧]　

判断函数零点(方程的根)所在区间的方法

考法二　函数零点个数的判断　

[例2]　(1)(2019·南昌模拟)函数f(x)＝x－x的零点个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

(2)(2019·保定模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f[f(x)]－1的零点个数为(　　)

A．1  B．3

C．4  D．6

[解析]　(1)法一：(定理法)∵f(0)＝－1，f(1)＝，∴f(0)f(1)<0，故函数f(x)在(0,1)上至少存在一个零点，又∵f(x)为增函数，∴f(x)的零点个数为1.

法二：(图象法)令f(x)＝0，得x＝x，在平面直角坐标系中分别画出函数y＝x与y＝x的图象(图略)，可得交点只有一个，∴函数f(x)的零点只有1个，故选B.

(2)函数g(x)＝f[f(x)]－1的零点个数即f[f(x)]＝1在(－1，＋∞)上的实数解的个数，令f(x)＝1得x1＝－，x2＝1，x3＝5，作出函数f(x)的大致图象如图所示．由图象可知f(x)＝－无解，f(x)＝1有3个解，f(x)＝5有1个解．综上所述，函数g(x)＝f[f(x)]－1的零点个数为4，故选C.

[答案]　(1)B　(2)C

[方法技巧]　　　判断函数零点个数的方法

1.函数f(x)＝ln(2x)－1的零点所在区间是(　　)

A．(2,3)  B．(3,4)

C．(0,1)  D．(1,2)

解析：选D　f(x)＝ln(2x)－1是(0，＋∞)上的增函数，并且是连续函数，且f(1)＝ln 2－1<0，f(2)＝ln 4－1>0，根据函数零点的存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1,2)内．故选D.

2.方程x＝x的解所在的区间是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　令函数f(x)＝x－x，易知函数f(x)为[0，＋∞)上的减函数．又f(0)＝1>0，f＝－>0，f＝－<0，由函数零点的存在性定理可知函数f(x)＝x－x的零点所在的区间是.即方程x＝x的解所在的区间是.故选B.

3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2x＋2x－4，则f(x)的零点个数是(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析： 选B　因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f·f(2)<0，所以当x>0时函数f(x)有1个零点．根据奇函数的对称性可知，当x<0时，函数f(x)也有1个零点．因此函数f(x)一共有3个零点．故选B.

突破点二　函数零点的应用问题

由于函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决．此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决．

1．(2019·六安一中模拟)已知函数f(x)＝方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1,3)　　　　　　　　　 B．(0,3)

C．(0,2)  D．(0,1)

解析：选D　画出函数f(x)的大致图象，如图．由方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，可知函数y＝a与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，由图象易知，实数a的取值范围是(0,1)，故选D.

2．(2019·郑州一模)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1]  B．[1，＋∞)

C．(0,1)  D．(－∞，1]

解析：选A　当x≤0时，f(x)单调递增，∴f(x)≤f(0)＝1－a；当x>0时，f(x)单调递增，且f(x)>－a.∵f(x)在R上有两个零点，∴解得0<a≤1.

由函数零点求参数范围的方法

1．函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间(－1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－3,1)　　　　　　　 B.

C.  D．(－∞，－3)或

解析：选B　根据零点存在性定理及二次函数的图象可知，函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间(－1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点时，解得<a<1，故选B.

2．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(　　)

A.∪[－2，＋∞)

B．(－2，＋∞)

C.∪(－2，＋∞)

D.∪(－2，＋∞)

解析：选C　方程f(x)＝a有两个不相等的实数根等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有两个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，a∈∪(－2，＋∞)．故选C.

3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)

A．[－1,0)  B．[0，＋∞)

C．[－1，＋∞)  D．[1，＋∞)

解析：选C　令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝     －x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.