2020高考数学新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第二章第五节　对数与对数函数

第五节　对数与对数函数突破点一　对数的运算1．对数的概念、性质及运算概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaNloga1＝0，logaa＝1，alogaN＝_N_运算法则loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0loga＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)2.重要公式(1)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；(2)logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)(2)log2x2＝2log2x.(　　)(3)存在这样的M，N使得log2(MN)＝log2M·log2N.(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√二、填空题1．已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________(用p，q表示)．解析：lg 5＝＝＝.答案：2．计算：2＋lg 8＋lg 25＋＝________.解析：原式＝＋3(lg 2＋lg 5)＋＝5.答案：53．已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________.解析：∵4a＝22a＝2，∴a＝.∴lg x＝，∴x＝.答案：4．log225·log34·log59＝________.解析：原式＝··＝··＝8.答案：8计算下列各式的值：(1)log535＋2log－log5－log514；(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2＝log5＋log2＝log553－1＝2.(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64＝÷log622＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.1．计算：÷100＝________.解析：原式＝lg×100＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.答案：－202．计算：lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2)2＋lg ＋lg 0.06＝________.解析：原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝ 3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1.答案：13．(2019·宁波期末)已知4a＝5b＝10，则＋＝________.解析：∵4a＝5b＝10，∴a＝log410，＝lg 4，b＝log510，＝lg 5，∴＋＝lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.答案：2突破点二　对数函数的图象及应用1．对数函数的图象函数y＝logax，a>1y＝logax,0<a<1图象图象特征在y轴右侧，过定点(1,0)当x逐渐增大时，图象是上升的当x逐渐增大时，图象是下降的 2.底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c<d<1<a<b.在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)3．指数函数与对数函数的关系指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象不在第二、三象限．(　　)(2)函数y＝log2(x＋1)的图象恒过定点(0,0)．(　　)答案：(1)√　(2)√二、填空题1．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．解析：y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.答案：(4，－1)2．函数y＝log3|2x－m|的图象关于x＝对称，则m＝________.答案：13．若f(x)＝log2x，则f(x)>0的x的范围是________．答案：(1，＋∞)考法一　对数函数图象的辨析　[例1]　(2019·海南三市联考)函数f(x)＝|loga(x＋1)|的大致图象是(　　)[解析]　法一：函数f(x)＝|loga(x＋1)|的定义域为{x|x>－1}，且对任意的x，均有f(x)≥0，结合对数函数的图象可知选C.法二：的图象可由y＝logax的图象左移1个单位，再向上翻折得到，结合选项知选C.[答案]　C[方法技巧]研究对数型函数图象的思路研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a>1或0<a<1这两种不同情况．　　 考法二　对数函数图象的应用　[例2]　(2019·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝|ln x|.若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　　)A．(4，＋∞)　　　　　 B．[4，＋∞)C．(5，＋∞)  D．[5，＋∞)[解析]　由f(a)＝f(b)得|ln a|＝|ln b|，根据函数y＝|ln x|的图象及0<a<b，得－ln a＝ln b,0<a<1<b，＝b.令g(b)＝a＋4b＝4b＋，易得g(b)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(b)>g(1)＝5.[答案]　C[易错提醒]应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求解错误，要记准记牢图象的变换规律． 1.函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　　)解析：选A　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.2.已知函数f(x)＝|logx|的定义域为，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．解析：作出f(x)＝|logx|的图象(如图)，可知f＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.答案：[1,2]3.使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．解析：在同一坐标系中分别画出函数y＝log2(－x)和y＝x＋1的图象(如图所示)，由图象知使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是(－1,0)．答案：(－1,0)突破点三　对数函数的性质及应用对数函数的性质函数y＝logax(a>0，且a≠1)a>10<a<1性质定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值变化规律当x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)当x>1时，logax>0.(　　)(2)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．(　　)(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×二、填空题1．函数y＝的定义域为________．答案：[2，＋∞)2．函数y＝log(3x－1)的单调递减区间为________．答案：3．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.答案：2或考法一　与对数有关的函数定义域问题　[例1]　(2018·西安二模)若函数y＝log2(mx2－2mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)A．(0,3)　　　　　　　 B．[0,3)C．(0,3]  D．[0,3][解析]　由题意知mx2－2mx＋3>0恒成立．当m＝0时，3>0，符合题意；当m≠0时，只需解得0<m<3.综上0≤m<3，故选B.[答案]　B[方法技巧]已知f(x)＝loga(px2＋qx＋r)(a>0，且a≠1)的定义域为R，求参数范围时，要注意分p＝0，p≠0讨论．同时p≠0时应结合图象说明成立条件．　　 考法二　与对数有关的比较大小问题　[例2]　(2019·湖北华中师大第一附属中学期中)设a＝2 018，b＝log2 018，c＝log2 019，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a>b>c  B．a>c>bC．b>a>c  D．c>b>a[解析]　∵a＝2 018>2 0180＝1,1＝log2 0182 018>b＝log2 018>log2 018＝，c＝log2 019<log2 019＝，所以a>b>c.故选A.[答案]　A[方法技巧]　　　对数函数值大小比较的方法单调性法在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底中间量过渡法寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法根据图象观察得出大小关系考法三　与对数有关的不等式问题　[例3]　设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1,0)∪(0,1)  B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)  D．(－∞，－1)∪(0,1)[解析]　由题意得或解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.[答案]　C[方法技巧]简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．　　 考法四　对数函数性质的综合问题　[例4]　若函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　　)A.  B.C.  D.[解析]　由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝2.由复合函数单调性可得函数f(x)＝  log(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f(x)＝log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，只需解得≤m＜2.[答案]　C[方法技巧]解决对数函数性质的综合问题的3个注意点(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)．(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．　　 1.函数f(x)＝的定义域是(　　)A.　　　　　　 B.∪(0，＋∞)C.  D．[0，＋∞)解析：选B　由解得x>－且x≠0，故选B.2.设a＝log50.5，b＝log20.3，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系是(　　)A．b<a<c  B．b<c<aC．c<b<a  D．a>b>c解析：选B　a＝log50.5>log50.2＝－1，b＝log20.3<log20.5＝－1，c＝log0.32>log0.3＝－1，log0.32＝，log50.5＝＝＝.∵－1<lg 0.2<lg 0.3<0，∴<，即c<a，故b<c<a.故选B.3.(2019·湛江模拟)已知loga<1，那么a的取值范围是________．解析：∵loga<1＝logaa，故当0<a<1时，y＝logax为减函数，0<a<；当a>1时，y＝logax为增函数，a>，∴a>1.综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．答案：∪(1，＋∞)4.(2019·盐城中学月考)已知函数f(x)＝loga(0<a<1)为奇函数，当x∈(－1，a]时，函数f(x)的值域是(－∞，1]，则a＋b的值为________．解析：由>0，解得－b<x<1(b>0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b＝1.所以f(x)＝loga(0<a<1)．又g(x)＝＝－1＋在(－1，a]上单调递减，0<a<1，所以f(x)在  (－1，a]上单调递增．又因为函数f(x)的值域是(－∞，1]，故f(a)＝1，此时g(a)＝a，即＝a，解得a＝－1(负根舍去)，所以a＋b＝.答案：