2020高考数学新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第一章第一节　集合

第一章  集合与常用逻辑用语、不等式

第一节　集合

突破点一　集合的概念与集合间的基本关系

1．集合的有关概念

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．

2．集合间的基本关系

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)

(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(　　)

(3)∅∈{0}．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×

二、填空题

1．已知集合P＝{－2，－1,0,1}，集合Q＝{y|y＝|x|，x∈P}，则Q＝________.

解析：将x＝－2，－1,0,1分别代入y＝|x|中，得到y＝2,1,0，故Q＝{2,1,0}．

答案：{2,1,0}

2．已知非空集合A满足：①A⊆{1,2,3,4}；②若x∈A，则5－x∈A.则满足上述要求的集合A的个数为________．

解析：由题意，知满足题中要求的集合A可以是{1,4}，{2,3}，{1,2,3,4}，共3个．

答案：3

3．设集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，且M＝N，则x2 019＋y2 020＝________.

解析：因为M＝N，所以或由集合中元素的互异性，可知x≠1，解得所以x2 019＋y2 020＝－1.

答案：－1

4．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的值是________．

解析：因为集合A有且只有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．①当a＝0时，A＝{0}符合题意；②当a≠0时，要满足题意，需有Δ＝       4－4a2＝0，即a＝±1.综上所述，a＝0或a＝±1.

答案：0或±1

1．(2019·厦门一中模拟)设集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，P＝{y|y＝2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则(　　)

A．a∈M，b∈P　　　　　　 B．a∈P，b∈M

C．a∈M，b∈M  D．a∈P，b∈P

解析：选A　设x0＝2n＋1，y0＝2k，n，k∈Z，则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，x0y0＝2k(2n＋1)＝2(2nk＋k)∈P，即a∈M，b∈P，故选A.

2．(2019·广州模拟)已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0,1}，则实数a的值为(　　)

A．－1  B．0

C．1  D．2

解析：选A　依题意知a≠0，则{0，－a}＝{0,1}，所以a＝－1.故选A.

3．(2019·湖南长郡中学选拔考试)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为(　　)

A．1  B．2

C．4  D．8

解析：选C　由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}，即符合条件的集合C共有4个．

1．与集合概念有关问题的求解策略

(1)确定构成集合的元素是什么，即确定性．

(2)看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质．

(3)根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．

2．判断集合间关系的常用方法

3.集合的子集、真子集的个数

含有n(n∈N*)个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．

1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选A　若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.

2．(2019·贵阳高三检测)设集合P＝{x|x<1}，Q＝{x|x2<1}，则(　　)

A．P⊆Q  B．Q⊆P

C．P⊆∁RQ  D．Q⊆∁RP

解析：选B　依题意得Q＝{x|－1<x<1}，因此Q⊆P.

3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

解析：∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.

②若B≠∅，则

解得2≤m≤3.

由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．

答案：(－∞，3]

突破点二　集合的基本运算

1．集合的三种基本运算

2.集合基本运算的常见性质

(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.

(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.

(3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.

(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(　　)

(2)若集合A＝，则∁RA＝.(　　)

(3)设集合U＝{x|－3<x<3，x∈Z}，A＝{1,2}，B＝{－2，－1，2}，则A∩(∁UB)＝{1}．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√

二、填空题

1．(2018·江苏高考)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝____________.

答案：{1,8}

2．已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，则A∩(∁RB)＝____________.

解析：因为B＝{x|x<－1}，则∁RB＝{x|x≥－1}，所以A∩(∁RB)＝{x|－2≤x<3}∩{x|x≥－1}＝{x|－1≤x<3}．

答案：{x|－1≤x<3}

3．(2019·合肥模拟)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)＝________.

解析：由题意，知A∪B＝{1,2,3}．又B＝{1,2}，∴∁UB＝{3,4}，∴A∩(∁UB)＝{3}．

答案：{3}

4．(2019·淮南二中调研)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若      (∁UA)∩B≠∅，则实数a的取值范围为________．

解析：因为A＝{x|x<3或x≥7}，所以∁UA＝{x|3≤x<7}，又(∁UA)∩B≠∅，则a>3.

答案：(3，＋∞)

1．(2019·衡水模拟)已知集合A＝{x|－x2＋4x≥0}，B＝，C＝{x|x＝2n，n∈N}，则(A∪B)∩C＝(　　)

A．{2,4}　　　　　　　 B．{0,2}

C．{0,2,4}  D．{0,4}

解析：选C　集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|－4<x<3}，故A∪B＝{x|－4<x≤4}，集合C表示非负偶数，故(A∪B)∩C＝{0,2,4}，故选C.

2.(2019·太原阶段性测评)设集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|y＝}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)

A．{1}  B．{0}

C．{－1,0}  D．{－1,0,1}

解析：选B　由题意得图中阴影部分表示的集合为A∩(∁RB)．∵B＝{x|y＝}＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴∁RB＝{x|－1<x<1}，∴A∩(∁RB)＝{0}，故选B.

3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1,2}，Q＝{－1,0,1}，则集合P*Q中元素的个数是(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：选B　因为a∈P，b∈Q，所以a的取值只能为1,2；b的取值只能为－1,0,1.z＝ab的不同运算结果如下表所示：

由上表可知P*Q＝，显然该集合中共有3个不同的元素．

1．集合基本运算的求解策略

2.解决集合新定义问题的策略

耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．

1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　　)

A．{0}　　　　　　　　　 B．{1}

C．{1,2}  D．{0,1,2}

解析：选C　∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}．

2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝(　　)

A．{x|－1<x<2}  B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x<－1}∪{x|x>2}  D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

解析：选B　∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．则∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.

3．已知集合A＝{x|x2－3x－10<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，则A∩(∁RB)＝(　　)

A．(2,5)　　　　　　　 B．[2,5)

C．(－2,2]  D．(－2,2)

解析：选C　解一元二次不等式x2－3x－10<0，得－2<x<5，∴A＝{x|－2<x<5}．由y＝ln(x－2)可知x－2>0，即x>2，∴B＝{x|x>2}，因此∁RB＝{x|x≤2}，则A∩(∁RB)＝(－2,2]．故选C.

4．已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为(　　)

A．15  B．16 

C．20  D．21

解析：选D　由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A＝{0,1,2,3}．      ∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.