2020高考数学新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第二章第三节二次函数与幂函数

第三节 二次函数与幂函数
突破点一　幂函数


1．幂函数的定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．对于幂函数，只讨论α＝1,2,3，，－1时的情形．
2．五种幂函数的图象

3．五种幂函数的性质
函数
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减
增
增
x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．(　　)
(2)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．(　　)
(3)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
二、填空题
1．(2019·贵阳监测)已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f＝________.
解析：设幂函数的解析式为f(x)＝xα，将代入解析式得3－α＝，解得α＝－，∴f(x)＝x，f＝.
答案：
2．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．
解析：因为f(x)＝xα为奇函数，所以α＝－1,1,3.
又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.
答案：－1
3．若y＝ax是幂函数，则该函数的值域是________．
解析：由y＝ax是幂函数，得a＝1，所以y＝x，所以y≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)
答案：[0，＋∞)


1．与函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)

解析：选B　y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图象所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.
2．已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b C．c 解析：选C　因为a＝81，b＝16，c＝12，由幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c，故选C.
3．(2019·河北保定调考)幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·x在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　)
A．1或3　　　　　　　　　 B．1
C．3 D．2
解析：选B　由题知解得m＝1，故选B.

幂函数图象与性质的应用
(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

1．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a C．b 解析：选D　∵y＝x (x>0)是增函数，∴a＝>b＝.∵y＝x是减函数
，∴a＝ 2．若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C．(－1,2) D.
解析：选D　因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，
且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于解得
即≤m<2.故选D.
突破点二　二次函数


1．二次函数解析式的三种形式
一般式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是
顶点式
f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)
零点式
f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝
2.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质

a>0
a<0
图象


定义域
R
值域


奇偶性
b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
单调性
在上单调递减，在－，＋∞上单调递增
在上单调递增，在－，＋∞上单调递减
最值
当x＝－时，ymin＝
当x＝－时，ymax＝

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(　　)
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)
(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一坐标系中的开口大小．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
二、填空题
1．已知抛物线y＝8x2－(m＋1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.
解析：∵抛物线y＝8x2－(m＋1)x＋m－7的顶点在x轴上，
∴其顶点的纵坐标＝0，
即m2－30m＋225＝0，∴(m－15)2＝0，∴m＝15.
答案：15
2．若f(x)＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于x＝1对称，则b＝________.
解析：若f(x)＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于x＝1对称，则a＋b＝2，－＝1.∴a＝－4，b＝2－a＝6.
答案：6
3．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是________，最大值是________．
解析：∵f(x)＝22－在[－1,1]上为减函数，∴当x＝1时，f(x)min＝－3；当x＝－1时，f(x)max＝9.
答案：－3　9


考法一　求二次函数的解析式　
[例1]　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
[解]　法一(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝，∴m＝.
又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8，
∴f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三(利用零点式)：
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，
即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
[方法技巧]　　求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

考法二　二次函数的图象与性质　
二次函数图象与性质在高考中单独考查的频率较低，与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用．
考向一　二次函数的图象识别
[例2]　(2019·甘肃武威模拟)
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0；④5a 其中正确的结论是(　　)
A．②④　　　　　　　　 B．①④
C．②③ D．①③


[解析]　∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为直线x＝－1知，b＝2a，又∵函数的图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a，即5a [答案]　B
[方法技巧]　识别二次函数图象应学会“三看”

考向二　二次函数的性质应用
[例3]　(1)(2018·河南南阳二模)若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，则(　　)
A．f(2) C．f(2) (2)(2019·齐齐哈尔八中月考)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　(1)∵函数f(x)＝ax2＋bx＋c对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，∴函数图象关于x＝2对称，由a>0知f(x)min＝f(2)，由2－1<4－2，得f(1) (2)由a＝1可得f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，图象开口向上，图象的对称轴为直线x＝2，所以f(x)在区间[2，＋∞)上为增函数．由函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，可得2a≤2，解得a≤1.所以“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选A.
[答案]　(1)A　(2)A
[方法技巧]
解决二次函数图象与性质问题的2个注意点
(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解．　
　
考向三　二次函数的最值问题
[例4]　已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
[解]　(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3＝2－，
又x∈[－2,3]，所以f(x)min＝f＝－，
f(x)max＝f(3)＝15，所以所求函数的值域为.
(2)对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
所以6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－≥3，即a≤－时，f(x)max＝f(1)＝2a－3，
所以2a－3＝1，即a＝2，不满足题意；
③当1<－<3，即－ 此时f(x)max在端点处取得，
令f(1)＝1＋2a－1－3＝1，得a＝2(舍去)，
令f(3)＝9＋3(2a－1)－3＝1，得a＝－(舍去)．
综上，可知a＝－.
[方法技巧]
求二次函数在给定区间上最值的方法
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下：
(1)当－∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时：
f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是f＝；若－≤，f(x)的最大值为f(n)；若－≥，f(x)的最大值为f(m)．
(2)当－∉[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时：
f(x)在[m，n]上是单调函数．若－ (3)当不能确定对称轴－是否属于区间[m，n]时：
则需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值．　　

1.二次函数f(x)的图象经过两点(0,3)，(2,3)，且函数的最大值是5，则该函数的解析式是(　　)
A．f(x)＝2x2－8x＋11
B．f(x)＝－2x2＋8x－1
C．f(x)＝2x2－4x＋3
D．f(x)＝－2x2＋4x＋3
解析：选D　二次函数f(x)的图象经过两点(0,3)，(2,3)，则图象的对称轴为x＝1，
又由函数的最大值是5，可设f(x)＝a(x－1)2＋5(a≠0)，于是3＝a＋5，解得a＝－2，
故f(x)＝－2(x－1)2＋5＝－2x2＋4x＋3.故选D.
2.设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)

解析：选D　当a<0时，b，c异号，排除A、B两项；当a>0时，b，c同号，排除C项；D项中，由图象知a>0，c<0，－>0，故b<0，符合题意．
3.已知函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1 A．f(x1)＝f(x2) B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1) 解析：选C　由题知二次函数f(x)的图象开口向下，图象的对称轴方程为x＝，
因为x1＋x2＝0，
所以直线x＝x1，x＝x2关于直线x＝0对称，
由x1
4.函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0,1] B．[0,2]
C．[－2,0] D．[－1,0]
解析：选D　y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2.
∵函数在[0,1]上的最大值是a2，
∴0≤－a≤1，即－1≤a≤0.