2020届高考数学一轮复习课时训练：第12章 概率、随机变量及其分布 60(含解析)

【课时训练】第60节　几何概型

一、选择题

1.(2018佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为(　　)

A.16.32 B.15.32

C.8.68 D.7.68

答案为：A

解析：设椭圆的面积为S，则=，故S=16.32.

2.(2018辽宁五校联考)若实数k∈[－3,3]，则k的值使得过点A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k=0相切的概率等于(　　)

A. B.

C. D.

答案为：D

解析：由点A在圆外可得k＜0，由题中方程表示圆可得k＞－1或k＜－4，所以－1＜k＜0，故所求概率为.故选D.

3.(2018宁夏银川模拟)在正三棱锥S－ABC内任取一点P，使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是(　　)

A. B.

C. D.

答案为：A

解析：如图，分别取D，E，F为SA，SB，SC的中点，则满足条件的点P应在棱台DEF－ABC内，而S△DEF=S△ABC，∴VS－DEF=VS－ABC.

∴P==.故选A.

4.(2018石家庄一模)在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使≤1成立的概率为(　　)

A. B.

C. D.

答案为：B

解析：如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的与x轴正半轴，y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P==.故选B.

5.(2018湖南十校联考)如图所示，正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1，0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y=x2经过点B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是(　　)

A.　 B.

C. D.

答案为：C

解析：由题意可知，阴影部分的面积S阴影=0x2dx=x3=，又正方形的面积S=1，故质点落在图中阴影区域的概率P==.故选C.

6.(2018武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为(　　),

A. B.

C. D.,

答案为：D,解析：因为log0.5(4x－3)≥0，所以0＜4x－3≤1，即＜x≤1，所以所求概率P==.故选D.,

7.(2018济南模拟)如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)，则以x，y,1为边长能构成锐角三角形的概率为(　　),

A.1－ B.1－ 

C.1－ D.

答案为：A,解析：连接AC，首先由x＋y＞1得构成三角形的点P在△ABC内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，cos α=＞0，x2＋y2＞1，即点P在以原点为圆心，1为半径的圆外.∴点P在边AB，BC及圆弧AC围成的区域内.∴所求概率为=1－.故选A.

二、填空题

8.(2018重庆检测)在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为________.

答案为：

解析：画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为S△ABC=×3×=，S△AOD=×1×1=，所以点P恰好落在第二象限的概率为==.

9.(2018邢台摸底考试)有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________.

答案为：

解析：由题意知，所求的概率为1－÷(π×12×3)=.

10.(2018沈阳模拟)某人家门前挂了两盏灯笼，这两盏灯笼发光的时刻相互独立，且都在通电后的5秒内任意时刻等可能发生，则它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率是________.

答案为：

解析：设两盏灯笼通电后发光的时刻分别为x，y，则由题意可知0≤x≤5,0≤y≤5，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒，即|x－y|≤3，做出图形如图所示，根据几何概型的概率计算公式可知，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率P=1－=.

11.(2018河南检测)若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3=0与x轴，y轴围成的三角形的面积小于的概率为________.

答案为：

解析：对于直线方程(m＋2)x＋(3－m)y－3=0，令x=0，得y=；令y=0，得x=.由题意可得··＜，因为m∈(0,3)，所以解得0＜m＜2，由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是.

12.(2018云南昆明统测)在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD，矩形的一边BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________.

答案为：

解析：设AD=x，AB=y，则由三角形相似可得=，解得y=a－x，所以矩形的面积S=xy=x(a－x)≤2=，当且仅当x=a－x，即x=时，S取得最大值，所以该点取自矩形内的最大概率为=.

三、解答题

13.(2018山东德州一模)设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2=0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率.

【解】设事件A为“方程x2＋2ax＋b2=0有实根”.当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2=0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为P(A)==.