2020届高考数学一轮复习课时训练：第14章 选修部分 69(含解析)

【课时训练】第69节　坐 标 系

解答题

1.(2018武汉调研)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin =－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.

【解】在ρsin =－中，令θ=0，得ρ=1，所以圆C的圆心坐标为(1,0).

因为圆C经过点P，

所以圆C的半径PC==1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.

2.(2018兰州检测)设M，N分别是曲线ρ＋2sin θ=0和ρsin =上的动点，求M，N的最小距离.

【解】因为M，N分别是曲线ρ＋2sin θ=0和ρsin =上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y=0和直线x＋y－1=0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1=0上找一点到圆x2＋y2＋2y=0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1=0的距离减去半径，故最小值为－1=－1.

3.(2018安徽芜湖质检)在极坐标系中，求直线ρ(cos θ－sin θ)=2与圆ρ=4sin θ的交点的极坐标.

【解】ρ(cos θ－sin θ)=2化为直角坐标方程为x－y=2，即y=x－2.ρ=4sin θ可化为x2＋y2=4y，

把y=x－2代入x2＋y2=4y，

得4x2－8x＋12=0，即x2－2x＋3=0，

所以x=，y=1.

所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.

4.(2018山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=，点R.

(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，点R的极坐标化为直角坐标；

(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标.

【解】(1)曲线C：ρ2=，即ρ2＋2ρ2sin2 θ=3，

从而 ＋ρ2sin2 θ=1.

∵x=ρcos θ，y=ρsin θ，

∴曲线C的直角坐标方程为＋y2=1，

点R的直角坐标为R(2,2).

(2)设P(cos θ，sin θ)，

根据题意可得|PQ|=2－cos θ，|QR|=2－sin θ，

∴|PQ|＋|QR|=4－2sin ，

当θ=时，|PQ|＋|QR|取最小值2，

∴矩形PQRS周长的最小值为4，

此时点P的直角坐标为.

5.(2018南京模拟)已知直线l：ρsin =4和圆C：ρ=2kcos (k≠0).若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标.

【解】圆C的极坐标方程可化为ρ=kcos θ－ksin θ，

即ρ2=kρcos θ－kρsin θ，

所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky=0，

即2＋2=k2，

所以圆心C的直角坐标为.

直线l的极坐标方程可化为ρsin θ·－ρcos θ·=4，

所以直线l的直角坐标方程为x－y＋4=0，

所以－|k|=2.

即|k＋4|=2＋|k|，

两边平方，得|k|=2k＋3，

所以或

解得k=－1，故圆心C的直角坐标为.

6.(2018河南开封模拟)已知圆C：x2＋y2=4，直线l：x＋y=2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.

(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；

(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程.

【解】(1)将x=ρcos θ，y=ρsin θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ=2，l：ρ(cos θ＋sin θ)=2.

(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|=|OR|2，得ρρ1=ρ.

又ρ2=2，ρ1=，所以=4，

故点Q轨迹的极坐标方程为ρ=2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0).