2020届高考数学一轮复习课时训练：第12章 概率、随机变量及其分布 59(含解析)

【课时训练】第59节　古典概型

一、选择题

1.(2018昆明模拟)小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本.若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是(　　)

A. B.

C. D.

答案为：B

解析：语文、数学只有一科的两本书相邻，有2AAA=48种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有AAA=24种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A=120种摆放方法.故所求概率为1－=.故选B.

2.(2018湖南常德模拟)某校食堂使用除面值外，大小、手感完全一样的餐票，某同学口袋中有2张一元餐票，3张两元餐票，1张五元餐票，他从口袋中随机摸出2张餐票，则这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为(　　)

A. B.

C. D.

答案为：B

解析：该同学从口袋中随机摸出2张餐票，总的基本事件数是C=15，若这2张餐票的面值之和不少于4元，则这2张餐票为2张两元的或1张两元的、1张五元的或1张一元的、1张五元的，包含的基本事件数为C＋CC＋CC=8，根据古典概型的概率计算公式可知，这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为.

3.(2018江苏常州一模)一袋中装有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从袋中一次性随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为(　　)

A. B.

C. D.

答案为：D

解析：从袋中一次性随机摸出2只球的所有可能情况有C=6(种)，设“这2只球颜色不同”为事件N，这2只球颜色可能为1白1红，1白1黄，1红1黄，事件N包含的情况CC＋CC＋CC=5(种)，故这2只球颜色不同的概率P(N)=.

4.(2018贵州遵义模拟)从集合A={－3，－2，－1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B={－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx＋b不经过第四象限的概率为(　　)

A. B.

C. D.

答案为：B

解析：根据题意可知，总的基本事件(k，b)共有4×3=12个，直线y=kx＋b不经过第四象限，则k＞0，b＞0，包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知直线y=kx＋b不经过第四象限的概率P==.故选B.

5.(2018大同调研)有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次.事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率是(　　)

A. B.

C. D.

答案为：D

解析：由题意知，这10件产品中有2件次品，8件正品，每次抽取1件，抽检后不放回，共抽2次，共有A=90种情况，其中事件“抽到1件正品，1件次品”包含的情况有ACC=32种情况，根据古典概型的概率计算公式知，事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率P==.

6.(2018郑州质检)已知函数f(x)=x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)

A. B.

C. D.

答案为：D

解析：对函数f(x)求导可得f ′(x)=x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2=0有两个不等实根，即Δ=4(a2－b2)＞0，即a＞b.又(a，b)的取法共有9种，其中满足a＞b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P==.

7.(2018太原模拟)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a=(m，n)与向量b=(1,0)的夹角为α，则α∈的概率为(　　)

A. B.

C. D.

答案为：B

解析：由题意知，向量a=(m，n)共有6×6=36(个)，其中满足向量a=(m，n)与向量b=(1,0)的夹角α∈，即n＜m的(m，n)可根据n的具体取值进行分类计数：第一类，当n=1时，m有5个不同的取值；第二类，当n=2时，m有4个不同的取值；第三类，当n=3时，m有3个不同的取值；第四类，当n=4时，m有2个不同的取值；第五类，当n=5时，m有1个取值.因此满足向量a=(m，n)与向量b=(1,0)的夹角α∈的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5=15(个)，所以所求概率为=.

8.(2018江西新余模拟)在三行三列的方阵中有9个数aij(i=1,2,3，j=1,2,3)，从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是(　　)

A. B.

C. D.

答案为：D

解析：从9个数中任取3个数共有C=84种不同的取法.若3个数中有2个数位于同行或同列，则有=72种不同的取法，若3个数均位于同行或同列，则有6种不同的取法.设事件M为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M包含的取法共有72＋6=78(种)，根据古典概型的概率计算公式得P(M)==.故选D.

二、填空题

9.(2018珠海综合测试)高一年级某班有63名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的，则这个班的男生人数为________.

答案为：33

解析：由题意可设该班的男生人数为x，则女生人数为63－x，因为每名学生被选中是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是，“选出的标兵是男生”的概率是，故=×，解得x=33，故这个班的男生人数为33.

10.(2018合肥质检)为了庆祝五四青年节，某书店制作了3种不同的精美卡片，每本书中随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现某人购买了5本书，则其获奖的概率为________.

答案为：

解析：“获奖”即每种卡片至少一张，而5=1＋1＋3=1＋2＋2，有3种卡片，购买5本书，基本事件总数为35，故所求概率为=.

三、解答题

11.(2018郑州质量预测)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球.

(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；

(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？

【解】用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个.

(1)设甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个.则P(A)==.

(2)设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个.

则P(B)==，所以P(C)=1－P(B)=.

因为P(B)≠P(C)，所以这样规定不公平.