2020版江苏高考数学一轮复习学案：第59课《复数的几何意义》(含解析)

第59课　复数的几何意义

1.  了解复数的几何意义.

2.  了解复数代数形式的加法与减法的几何意义.

1. 阅读：选修22 第120～122页.

2. 解悟：①复平面；②复平面也称为高斯平面，解析几何中的坐标平面也称为笛卡尔平面；③z，z与|z|之间有什么关系？④复数的向量形式是它的几何意义之一，通过向量加法的平行四边形法则，体会向量加法与复数加法法则的一致性，由向量加法的坐标表示进一步理解复数加法法则规定的合理性.

3. 践习：在教材空白处，完成第124页习题第1、2、3、7、8题

　基础诊断　

1.  满足|z|＝2的复数z在复平面内所对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆.

解析：设z＝a＋bi，所以|z|＝＝2，即a2＋b2＝4，所以复数z在复平面内所对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆.

2.  已知复数z1＝2＋ai，z2＝2－i，若|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是　(－1，1)　.

解析：由题意得<，即4＋a2<5，解得－1<a<1，故实数a的取值范围是(－1，1).

3.  已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C分别对应复数3＋3i，－2＋i，－5i，则第四个顶点D对应的复数为　5－3i　.

解析：由题意得A(3，3)，B(－2，1)，C(0，－5)，所以＝(5，2)，＝(2，－6)，所以＝＋＝(5，2)＋(2，－6)＝(7，－4)，所以＝＋＝(－2，1)＋(7，－4)＝(5，－3)，所以点D对应的复数为5－3i.

4.  复数z＝(m2－1)＋(m2－3m＋2)i，z在复平面上对应的点在以(0，－3m)为圆心，为半径的圆上，则实数m＝　±　.

解析：由意可知，(m2－1－0)2＋(m2－3m＋2＋3m)2＝17，化简得m4＋m2－6＝0，解得m2＝2，即m＝±.

　范例导航　

考向❶  复平面

例1　已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2，z所对应的点A在第一象限.

(1)  求复数z；

(2)  若z，z2，z－z2在复平面上对应点分别为A，B，C，求cos∠ABC.

解析：(1) 令z＝x＋yi，因为|z|＝，所以x2＋y2＝2.

又z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi，z2的虚部为2，

所以2xy＝2，即xy＝1.

联立

解得或

所以z＝1＋i或z＝－1－i. 因为x>0，y>0，所以z＝1＋i.

(2) 由题意得，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1＋i－2i＝1－i.

如图所示，A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，

所以＝(1，－1)，＝(1，－3)，

所以cos∠ABC＝＝＝.

在复平面内，复数－3＋i和1－i对应的点间的距离为　2　.

解析：由题意得所对应的点分别为(－3，1)，(1，－1)，所以距离为＝＝2.

考向❷  复数与最值

例2　设z是虚数，ω＝z＋，且－1<ω<2，u＝.求ω－u2的最小值.

解析：设z＝a＋bi，(a，b∈R，b≠0)，

则ω＝a＋bi＋＝＋(b－)i.

由－1<ω<2知ω是实数，所以b－＝0.

又b≠0，所以a2＋b2＝1，所以ω＝2a.

因为－1<ω<2，所以－<a<1.

因为u＝＝－，

所以ω－u2＝2a＋＝2a＋＝2a－＝2a－1＋

＝2－3.

因为－<a<1，所以a＋1>0，所以ω－u2≥2×2－3＝1，当且仅当a＋1＝，即a＝0时，ω－u2取得最小值1.

已知复数z＝(2－i)(1＋3i)，其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第　　　　象限.

解析：由题意得，z＝(2－i)(1＋3i)＝2＋6i－i－3i2＝5＋5i，所以复数z在复平面上对应的点位于第一象限.

考向❸  轨迹问题

例3　已知复数z＝x＋yi(i为虚单位x，y∈R)，且满足|z－3＋4i|＝1.

(1) 求复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程；

(2) 求|z－2－2i|的最值；

(3) 求的取值范围.

解析：(1) 由题意得|x－3＋(y＋4)i|＝1，

所以点z的轨迹方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝1.

(2) 由题意得|z－2－2i|＝表示圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1上的点与定点(2，2)间的距离，

所以|z－2－2i|min＝－1＝－1，

|z－2－2i|max＝＋1＝＋1.

(3) 由表示圆上的点与点(0，－3)连线的斜率，设＝k，即kx－y－3＝0.

由≤1得4k2＋3k≤0，所以－≤k≤0.

故的取值范围是.

　自测反馈　

1. 如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)，则z2＝－2－i.

解析：由题意可知，z1＝－1＋2i，z2＝z1i，所以z2＝(－1＋2i)i＝－2－i.

2. 若复数(a－2)＋i(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a＝　2　.

解析：由题意得a－2＝0，解得a＝2，所以实数a的值为2.

3. 设i是虚数单位，则复数的模为　　.

解析：由题意得，＝＝＋i，所以＝＝.

4. 已知复数z＝(1＋i)(1－2i)(i为虚数单位)，则z的实部为　3　.

解析：由题意得，z＝(1＋i)(2－2i)＝3－i，所以z的实部为3.

1. 复数z＝a＋bi(a∈R，b∈R)与复平面内点Z(a，b)及向量＝(a，b)是一一对应的；注意与向量一一对应时，向量的起点为原点.

2. z·z＝|z|2＝|z|2是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行运算的主要依据，在解题中要注意加以运用.

3. 你还有哪些体悟，写下来：