2021年高考数学一轮精选练习：70《参数方程》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

70《参数方程》

1.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(φ为参数).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ－kρcos θ＋k=0(k∈R).

(1)请写出曲线C的普通方程与直线l的一个参数方程；

(2)若直线l与曲线C交于点A，B，且点M(1,0)为线段AB的一个三等分点，求|AB|.

2.已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ，直线l与圆C交于A，B两点.

(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；

(2)动点P在圆C上(不与A，B重合)，试求△ABP的面积的最大值.

3.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，将曲线C1经过伸缩变换后得到曲线C2.在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－10=0.

(1)说明曲线C2是哪一种曲线，并将曲线C2的方程化为极坐标方程；

(2)已知点M是曲线C2上的任意一点，求点M到直线l的距离的最大值和最小值.

4.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈.

(1)求θ的值；

(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值.

5.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

6.在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ=，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(θ为参数).

(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；

(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M、N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值.

7.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，α∈[0，π)).以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sin θ.

(1)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围；

(2)若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|AB|的最小值.

8.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，m∈R)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=(0≤θ≤π).

(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为2，求m的值.

答案解析

1.解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为＋=1.

直线l的直角坐标方程为y=k(x－1)，

其一个参数方程为(t为参数).

(2)联立(1)中直线l的参数方程与曲线C的普通方程并化简得

(3＋sin2α)t2＋6tcos α－9=0，

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，

∴①

不妨设t1>0，t2<0，t1=－2t2，代入①中得cos2α=，sin2α=.

|AB|=|t1－t2|===.

2.解：(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ，

所以x2＋y2－4x=0，所以圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2=4.

设A，B对应的参数分别为t1，t2.

将直线l的参数方程代入圆C：

(x－2)2＋y2=4，并整理得t2＋2t=0，解得t1=0，t2=－2.

所以直线l被圆C截得的弦AB的长为|t1－t2|=2.

(2)由题意得，直线l的普通方程为x－y－4=0.

圆C的参数方程为(θ为参数)，

可设圆C上的动点P(2＋2cos θ，2sin θ)，

则点P到直线l的距离d==，

当cos=－1时，d取得最大值，且d的最大值为2＋.

所以S△ABP=×2×(2＋)=2＋2，

即△ABP的面积的最大值为2＋2.

3.解：(1)因为曲线C1的参数方程为

(α为参数)，且

所以曲线C2的参数方程为

所以C2的普通方程为x2＋y2=4，

所以C2为圆心在原点，半径为2的圆，

所以C2的极坐标方程为ρ2=4，

即ρ=2(θ∈R).

(2)解法一：直线l的直角坐标方程为x－y－10=0，

设M(2cos α，2sin α)(α为参数).

曲线C2上的点M到直线l的距离

d==.

当cos=1，即α=2kπ－(k∈Z)时，d取得最小值，

为=5－2.

当cos=－1，即α=＋2kπ(k∈Z)时，d取得最大值，

为=2＋5.

解法二：

直线l的直角坐标方程为x－y－10=0.

因为圆C2的半径r=2，且圆心到直线l的距离d==5>2，

所以直线l与圆C2相离.

所以圆C2上的点M到直线l的距离的最大值为d＋r=5＋2，

最小值为d－r=5－2.

4.解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2=4，

∵x=ρcos θ，y=ρsin θ，

∴曲线C的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2=4，

即ρ=4sin θ.

由ρ=2，得sin θ=，

∵θ∈，∴θ=.

(2)易知直线l的普通方程为x＋y－4=0，

∴直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4=0.

又射线OA的极坐标方程为θ=(ρ≥0)，

联立解得ρ=4.

∴点B的极坐标为，

∴|AB|=|ρB－ρA|=4－2=2.

5.解：(1)C1的普通方程为＋y2=1.

C2的直角坐标方程为x＋y－4=0.

(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α).

因为C2是直线，

所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，

d(α)==.

当且仅当α=2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，

此时P的直角坐标为.

6.解：(1)∵C1的极坐标方程是ρ=，

∴4ρcos θ＋3ρsin θ=24，

∴4x＋3y－24=0，

故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24=0.

∵曲线C2的参数方程为∴x2＋y2=1，

故C2的普通方程为x2＋y2=1.

(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为(α为参数).设N(2·cos α，2sin α)，则点N到曲线C1的距离

d==

=.

当sin(α＋φ)=1时，d有最小值，所以|MN|的最小值为.

7.解：(1)将曲线C的极坐标方程ρcos2θ=4sin θ化为直角坐标方程，得x2=4y.

∵M(x，y)为曲线C上任意一点，

∴x＋y=x＋x2=(x＋2)2－1，

∴x＋y的取值范围是[－1，＋∞).

(2)将代入x2=4y，

得t2cos2 α－4tsin α－4=0.

∴Δ=16sin2α＋16cos2α=16>0，

设方程t2cos2α－4tsin α－4=0的两个根为t1，t2，

则t1＋t2=，t1t2=，

∴|AB|=|t1－t2|==≥4，当且仅当α=0时，取等号.

故当α=0时，|AB|取得最小值4.

8.解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t，可得C1的普通方程为x－y＋m=0.

由曲线C2的极坐标方程得

3ρ2－2ρ2cos2θ=3，θ∈[0，π]，

∴曲线C2的直角坐标方程为＋y2=1(0≤y≤1).

(2)设曲线C2上任意一点P的坐标为

(cos α，sin α)，α∈[0，π]，

则点P到曲线C1的距离d==.

∵α∈[0，π]，∴cos∈，2cos∈[－2，]，

由点P到曲线C1的最小距离为2得，

若m＋<0，则m＋=－4，即m=－4－.

若m－2>0，则m－2=4，即m=6.

若m－2<0，m＋>0，

当|m＋|≥|m－2|，即m≥时，

－m＋2=4，即m=－2，不合题意，舍去；

当|m＋|<|m－2|，即m<时，

m＋=4，即m=4－，不合题意，舍去.

综上，m=－4－或m=6.