2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：选修4-5.1 绝对值不等式
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选修4-5 不等式选讲
第一节 绝对值不等式
知识体系
必备知识
1.绝对值三角不等式
定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集.
不等式 | a>0 | a=0 | a<0 |
|x|<a | {x|-a<x<a} | ||
|x|>a | {x|x>a或x<-a} | {x|x∈R且x≠0} | R |
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法.
①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
1.含两个绝对值不等式的解法
应用“零点分区法”时,一是要注意不能遗漏零点导致分类不全;二是一般根据根从大到小进行排序、讨论.
2.对于不等式恒成立的理解
从函数观点可转化为最值问题,从不等式的解集观点即不等式的解集为R,若不等式的解集为⌀,即不等式的对立面恒成立.
基础小题
1.(教材改编)不等式x+|2x+3|≥2的解集为________.
【解析】原不等式可化为
或
解得x≤-5或x≥-.
综上,原不等式的解集是.
答案:
2.已知函数f(x)=|x-1|+|2x+2|-5,则不等式f(x)≥0的解集为________.
【解析】由不等式f(x)=|x-1|+|2x+2|-5≥0,
可得①,
或②,或③.
解①求得 x≤-2,
解②求得x∈,
解③求得x≥,
综上可得,不等式的解集为.
答案:
3.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,则m的取值范围是________.
【解析】f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,
即为|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,
即|x-2|+|x+3|>m恒成立,
又对任意实数x恒有
|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,
于是得m<5,即m的取值范围是(-∞,5).
答案:(-∞,5)
4.设函数f(x)=|x+2|+|x-1|,则f(x)的最小值为________,取得最小值时x的取值范围为________.
【解析】因为函数f(x)=|x+2|+|x-1|≥|x+2-(x-1)|=3,故函数f(x)=|x+2|+
|x-1|的最小值为3,此时,-2≤x≤1.
答案:3 -2≤x≤1
5.已知|2x-3|≤1的解集为[m,n].
(1)求m+n的值.
(2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1.
【解析】(1)不等式|2x-3|≤1可化为-1≤2x-3≤1,
解得1≤x≤2,所以m=1,n=2,m+n=3.
(2)若|x-a|<1,则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1.即|x|<|a|+1.
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