2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：选修4-5.2　证明不等式的基本方法

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第二节　证明不等式的基本方法

知识体系

必备知识

1.比较法

比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法和作商比较法两种.

2.综合法

一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.

3.分析法

证明命题时,从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种执果索因的思考和证明方法.

1.对作差(商)法的理解

作差法的实质是把两个数或式子的大小判断转化为差(差式)与0的大小关系;作商法的实质是把两个数或式子的大小判断转化为商(商式)与1的大小关系.

2.关于分析法步骤的书写

利用分析法证明不等式时,步骤的书写一定要规范,要按照“要证…,只需证…”格式进行书写,否则会出现利用要证明的结论而证明的错误.

基础小题

1.下列表述:

①综合法是执因导果法;②综合法是顺推法;

③分析法是执果索因法;④分析法是间接证法;

⑤反证法是逆推法.其中正确的是________(填序号). 

【解析】根据综合法的定义可得,综合法是执因导果法,是顺推法,故①②正确.

根据分析法的定义可得,分析法是执果索因法,是直接证法,故③正确,④不正确.

由反证法的定义可得,反证法是假设命题的否定成立,由此推出矛盾,从而得到假设不成立,即命题成立,故不是逆推法,故⑤不正确.

答案:①②③

2.设a>b>0,m=-,n=,则m,n的大小关系是________. 

【解析】因为a>b>0,

(+)2=a+2>a=,

故+>,即>-,即m<n.

答案:m<n

3.已知a,b是不相等的正实数,则+______ +(填“>”或“<”).

【解析】-=-

=(a-b)=>0,

故+>+.

答案:>

4.已知a,b是正实数,则a4+b4与a3b+ab3的大小关系是________. 

【解析】因为a,b是正实数,

所以a4+b4-a3b-ab3=(a4-a3b)+(b4-ab3)

=a3(a-b)+b3(b-a)=(a-b)(a3-b3)

=(a-b)(a-b)(a2+ab+b2)

=(a-b)2(a2+ab+b2)≥0,

所以a4+b4≥a3b+ab3.

答案:a4+b4≥a3b+ab3

5.若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,求++的最大值.

【解析】(++)2=(1×+1×+1×)2≤3(a+b+c)=3.

当且仅当a=b=c=时,等号成立.

所以(++)2≤3.故++的最大值为.

6.设x>0,y>0,若不等式++≥0恒成立,求实数λ的取值范围.

【解析】因为x>0,y>0,

所以原不等式可化为-λ≤(x+y)=2++.

因为2++≥2+2=4,

当且仅当x=y时等号成立.

所以=4,即-λ≤4,λ≥-4.

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