2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：10.9　离散型随机变量的均值与方差

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第九节　离散型随机变量的均值与方差

知识体系

必备知识

1.离散型随机变量的均值

(1)若离散型随机变量X的概率分布列为

则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.

(2)若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量,于是E(Y)=aE(X)+b__. 

(3)①若X服从两点分布,则E(X)=p;

②若X～B(n,p),则E(X)=np.

2.离散型随机变量的方差

(1)若离散型随机变量X的概率分布列为

则称D(X)=__(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,其算术平方根为随机变量X的标准差. 

(2)D(aX+b)=a2D(X).

(3)①若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p);

②若X～B(n,p),则D(X)=np(1-p).

方差反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度:D(X)越小,X取值越集中,D(X)越大,X取值越分散.

1.易错点:

理解均值E(X)易失误

均值E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作为随机变量是可变的,而E(X)是不变的,它描述X值的取值平均状态.

2.注意点:忽视均值与方差的线性运算

注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)易错.

基础小题

1.下面说法正确的是 (　　)

A.离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值

B.离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平

C.离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平

D.离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值

【解析】选C.离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平,它的方差反映X取值的离散程度.

2.已知随机变量X+η=8,若X～B(10,0.6),则随机变量η的期望E(η)及方差D(η)分别是              (　　)

A.6和2.4 　B.2和2.4 　C.2和5.6 　D.6和5.6

【解析】选B.设随机变量X的期望及方差分别为E(X),D(X),因为X～B(10,0.6),所以E(X)=10×0.6=6,

D(X)=10×0.6×(1-0.6)=2.4,

故E(η)=E(8-X)=8-E(X)=2,

D(η)=D(8-X)=D(X)=2.4.

3.(教材改编)设X～B(n,p),若D(X)=4,E(X)=12,则n的值为________. 

【解析】因为X～B(n,p),所以解得p=,n=18.

答案:18

4.一射击测试每人射击三次,每击中目标一次记10分,没有击中记0分.某人每次击中目标的概率为,则此人得分的数学期望为________;方差为________. 

【解析】记此人三次射击击中目标X次,得分为Y分,则X～B,Y=10X,所以E(Y)=10E(X)=10×3×=20,D(Y)=100D(X)=100×3××=.

答案:20　

5.某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示,根据统计,随机变量ξ的概率分布列如下,则ξ的数学期望为________. 

【解析】由概率分布列的性质,得0.1+0.3+2a+a=1,解得a=0.2,所以ξ的概率分布列为

所以E(ξ)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7.

答案:1.7

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